Dejemos que $X$ sea una matriz cuadrada. Es $\operatorname{trace}(X)$ una función suave de $X$ ? ¿Por qué?
¿Y si $X$ ¿positivo-semidefinido?
Respuesta
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Cualquier polinomio $\mathbb{R}[x_1,\dots,x_N]$ es una función suave (tendrá parciales continuos de todos los órdenes).
La función de trazado viene dada por $\mathrm{Tr}(X) = \mathrm{Tr}\left(\begin{bmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{nn} \end{bmatrix} \right) = x_{11}+x_{22}+\cdots+x_{nn}$ . Se trata de un polinomio (lineal) en el $x_{ij}$ 's - es decir - $\mathrm{Tr}(X) \in \mathbb{R}[x_{11},\dots,x_{1n},x_{21},\dots,x_{2n},\dots,x_{n1},\dots,x_{nn}]$ (Llama a esto $\mathbb{R}[x_{ij}]_{1 \leq i,j \leq n}$ para abreviar. Así, el mapa de trazado a suave porque es un polinomio.
Lo mismo puede decirse del determinante. Denotemos el grupo simétrico como $S_n$ y que $(-1)^\sigma$ sea el signo de $\sigma \in S_n$ . Entonces $\mathrm{det}(X) = \sum\limits_{\sigma \in S_n} (-1)^\sigma x_{1\sigma(1)}\cdots x_{n\sigma(n)}$ que es un (grado homogéneo $n$ ) polinomio. Por lo tanto, el determinante también es suave.
Si restringimos estos mapas a matrices semidefinidas positivas, seguiremos teniendo mapas suaves.
