Un grupo de matemáticos e informáticos franceses está trabajando en ello. El proyecto se llama Hévéa y ya ha producido algunas imágenes. Editar: se han publicado algunas imágenes y el artículo del PNAS, véase http://hevea-project.fr/ENPageToreDossierDePresse.html
Sólo unas palabras para explicar lo que entendí de su método (que es mediante el uso del principio h) a partir de las pocas imágenes que vi en la vista previa. Comienza con un toro de revolución. Los meridianos son geniales, porque todos tienen la misma longitud, como se espera de los de un toro plano. Pero los paralelos son totalmente inviables, porque sus longitudes difieren mucho: son testigos de que el toro de revolución no es plano.
Ahora perturba tu toro añadiendo ondas en la dirección de los meridianos (como un acordeón), con gran amplitud en el interior y pequeña en el exterior. Si diseñas bien esta perturbación, puedes conseguir que las paralelas tengan ahora todas la misma longitud. Por supuesto, ¡los meridianos perturbados tienen ahora longitudes diferentes! Así que haces lo mismo añadiendo pequeñas ondas en otra dirección, consiguiendo que todos los meridianos vuelvan a tener la misma longitud. Puedes iterar este procedimiento de forma que la incrustación converja en el $C^1$ topología a un toro plano incrustado. Pero demostrar que la perturbación precisa que elegiste para obtener una imagen bonita sí converge, y que tus mapas son incrustaciones necesita trabajo (obtener una inmersión es más fácil si recuerdo bien).
Además, el proyecto Hévéa prevé dibujar imágenes de esferas de Nash, es decir $C^1$ incrustaciones isométricas de esferas de radio $>1$ dentro de una bola de radio unitario.
Editar: Roman Kogan menciona en una respuesta los siguientes enlaces relevantes y más recientes:
