¿Cuál es el grupo de automorfismo de $D_5$ (y, en general, de $D_n$ )?

Question

Esta es mi solución:

Recuerde cómo $D_5$ se define. Tenemos 4 rotaciones no identitarias:

$$ T, T^2, T^3, T^4, $$

con $T^0 = 1$ . Tenemos el reflejo $S$ , de tal manera que $S^2 = 1$ . Para conectar las rotaciones reflejadas con las rotaciones, tenemos: $STS = T^{-1}$ . Estas relaciones definen $D_5$ en su totalidad.

Dejemos que $D'_5$ sea ismórfico a $D_5$ con rotaciones: $$ 1, U, U^2, U^3, U^4,$$

$U^0 = 1$ la reflexión $V$ , de tal manera que $V^2 = 1$ y la relación $VUV = U^{-1}$ .

Por lo tanto, si uno estuviera creando un isomorfismo $f: D_5 \mapsto D'5$ sólo podemos hacer una elección: podemos asignar alguna rotación (reflejada o no) a $U$ En otras palabras, dejemos que $U = S^aT^j$ para algunos $a \in \{0, 1\}$ y algunos $j \in \{1, 2, 3, 4\}$ . Una vez hecha esta elección, todas las demás rotaciones en $D'_5$ se determinan:

$$ 1, U = S^a T^j, U^2 = UU, \text{etc.} $$

Debemos tener esa $S = V$ ya que no hay otra opción. Como tenemos la regla $VUV = U^{-1}$ Así que todos los $VU^kV$ para $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ también se determinan.

Por lo tanto, tenemos 8 opciones para nuestra única opción: podemos dejar $U$ ser uno de los $4$ rotaciones en $\{k \in \{1, 2, 3, 4\} \mid T^k\}$ o una de las 4 rotaciones reflejadas: $\{k \in \{-1, -2, -3, -4\} \mid T^k \}$ y, por tanto, hay 8 automorfismos.

¿Es esto correcto?

Answer 1

$D_5$ puede presentarse como un grupo generado por dos elementos de orden 2 cuyo producto tiene orden 5.* Cualquier par de reflexiones en $D_5$ tienen esta propiedad. Así, un par fijo de este tipo puede ser mapeado a cualquier otro par de este tipo determinando de forma única todos los automorfismos. Hay 5 reflexiones y, por tanto, 20 (5 x 4) pares ordenados de este tipo. Así pues, $D_5$ tiene 20 automorfismos. 10 son automorfismos internos y surgen de las simetrías del plano. Los otros no surgen así, ya que asignan reflexiones separadas por 36 grados a reflexiones separadas por 72 grados.

De hecho, por el mismo razonamiento, para cualquier primo impar $p$ , $D_p$ tiene $p(p-1)$ automorfismos, dados por los elementos de su normalizador en $S_p$ (cuando se considera que actúa sobre los vértices de un $p$ -gon).

De hecho, para cualquier $n\ge 3$ el número de reflexiones en $D_n$ que se emparejan con una reflexión fija tal que su producto tiene orden $n$ es $\varphi (n)$ el número de enteros menores que $n$ y coprima a $n$ . Esto se debe a que el producto de una reflexión fija por una reflexión variable da cada una de las posibles rotaciones una vez, y $\varphi (n)$ de ellos tienen orden $n$ . Esto, por $n\ge 3$ , $|Aut(D_n)|=n\varphi (n)$ .

Para $n$ impar, podemos decir más. En este caso, $D_n$ no tiene centro y como si tomamos la incrustación natural en $S_n$ dada por la acción sobre los vértices de un $n$ -gon tenemos $|N_{S_n}(D_n)|=n\varphi(n)$ los automorfismos están dados por el normalizador en $S_n$ que también resulta ser el normalizador de un $n$ -ciclo en $S_n$ . Así, $Aut(D_n)$ puede considerarse como todas las permutaciones de $\Bbb{Z}/(n)$ dado por $i\mapsto ai+b$ para $b\in\Bbb{Z}/(n)$ y $a\in\Bbb{Z}/(n)^{\times}$ .

*Para ver que $G=<a,b|a^2=b^2=(ab)^5>$ es isomorfo a $D_5$ Obsérvese que dos reflexiones cualesquiera en $D_5$ satisfacen todas esas relaciones, por lo que $D_5$ es una imagen homomórfica de $G$ . Ahora, considere el orden de $G$ . Cualquier palabra con a o b consecutivas puede ser reducida, así como cualquier palabra que contenga $ababababab$ . Esto deja como máximo la palabra vacía, 9 palabras que empiezan por $a$ y 10 palabras que empiezan por $b$ . Pero también $ababababa=b$ , $abababab=ba$ etc., por lo que hay como máximo 10 elementos distintos de $G$ . (En realidad, no necesitas el etc.; incluso sin él tienes que hay menos de 20 elementos distintos, y ya sabes $|G|$ es divisible por 10 ya que $D_5$ es una imagen). Así, $G$ es isomorfo a $D_5$ .