Cómo resolver $23^{{2020}^{2020}} \bmod 37$ ? Consulte el cuerpo de la pregunta.

Question

Cómo resolver $$23^{{2020}^{2020}} \mod 37.$$ A continuación se presenta mi comprensión de tratar de resolver el problema.

Desde $$x^{p-1} = 1 \mod p$$ Deduzco que $$23^{2020} \mod 37$$ sería $$23^{56.36+4} \mod 37$$ que se simplifica aún más como $$23^{4} \mod 37$$ como $$23^{\alpha .36} = 1 \mod 37$$

Teniendo en cuenta lo anterior, me pregunto si hay alguna forma de resolver $$23^{{2020}^{2020}} \mod 37.$$ No tengo ni idea de cómo simplificar el doble exponente.

Answer 1

Desde $x^{36} \equiv 1 \pmod {37}$ lo que te importa es el exponente $\bmod 36$ . Ahora hay que evaluar (no resolver) $2020^{2020} \pmod {36}$ . Los factores de $2$ son fáciles, ya que rápidamente tienes dos de ellos. Entonces sólo te interesa evaluarlo $\bmod 9$ . De vuelta a ti.

Answer 2

Para explicar con más detalle lo que Ross Millikan sugerido,

nota que $2020^{2020}\equiv0\pmod4$ y $2020^{2020}\equiv 4^{336\times6+4}\equiv4^4\equiv4\pmod9$

( $4^6\equiv1\pmod9$ por Teorema de Euler ),

así que $2020^{2020}\equiv4\pmod{36}$ por el Teorema chino del resto .