Cada sección es un núcleo

Question

Estoy estudiando categorías lineales y hay un problema que no puedo resolver. ¿Cómo puedo demostrar que una sección $f : X\to Y$ (es decir, un mapa tal que existe $g : Y \to X$ satisfaciendo $g\circ f = 1_X$ ) es un núcleo?

He intentado muchas cosas, como tener en cuenta que para cualquier objeto $Z$ , $0 : Z\to X$ es un núcleo para $f$ pero no pudo construir un mapa $h : Y \to Z$ tal que $f$ es un núcleo para $h$ . ¿Cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

La intuición: Esto es más fácil de entender si tienes una imagen de cómo debería ser una sección en tu cabeza. Creo que una buena imagen es la siguiente imagen geométrica de una sección (tomada de Wikipedia):

Aquí, $p$ es la proyección de los elementos de $E$ en $B$ (enviando cada elemento de $E$ al elemento de $B$ directamente debajo de ella), y $s$ es una sección de $p$ -- es decir, una elección [continua] para cada elemento de $b\in B$ de un elemento que vive directamente sobre él en $E.$

Ahora $\mathsf{Top}$ no es una categoría aditiva, por lo que lo siguiente no tendrá sentido literalmente, pero será útil tener la imagen topológica en la cabeza mientras se piensa algebraicamente. Si queremos encontrar un morfismo cuyo núcleo sea $s,$ queremos un morfismo que destruya precisamente el subespacio negro de $E$ (es decir, la imagen de $s$ ). Obsérvese que la composición $s\circ p$ envía cada elemento de $E$ al elemento único de $s(B)$ directamente por encima o por debajo. Entonces " $s\circ p - \operatorname{id}_E$ " matará precisamente los elementos fijados por $s\circ p,$ que son exactamente los elementos de $s(B).$

Podemos comprobar nuestra intuición con un ejemplo algebraico. Supongamos que empezamos con el morfismo $g : \Bbb{Z}\times\Bbb{Z}\to\Bbb{Z}$ definido por $g(m,n) = m+n.$ Esto tiene una sección $f : \Bbb{Z}\to\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}$ dado por $f(n) = (n,0).$ Podemos calcular fácilmente $$(f\circ g - \operatorname{id}_{\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}})(n,m) = (n+m,0) - (n,m) = (-m,m),$$ y también es sencillo comprobar que el núcleo de este morfismo son precisamente los elementos donde $m = 0.$

Verificación de la intuición: Dejemos que $h = f\circ g - \operatorname{id}_Y : Y\to Y.$ En primer lugar, vamos a hacer una comprobación para asegurarnos de que $f$ tiene la posibilidad de ser el núcleo de $h$ -- vamos a comprobarlo $h\circ f = 0.$ \begin{align*} h\circ f &= (f\circ g - \operatorname{id}_Y)\circ f\\ &= f\circ g\circ f - f\\ &= f\circ\operatorname{id}_X - f\\ &= 0. \end{align*} Esto nos da un candidato para $h.$

Ahora tenemos que demostrar que $f : X\to Y$ tiene la propiedad universal deseada. Entonces, supongamos que tenemos otro morfismo $f' : X'\to Y$ tal que $h\circ f' = 0.$ En primer lugar, necesitamos esto $f'$ para que sea un factor a través de $f$ en primer lugar. Podemos encontrar un mapa $X'\to X$ utilizando el mapa $g : Y\to X$ para volver de $Y$ à $X$ es decir, tenemos un mapa $X'\to X$ dado por $X'\xrightarrow{f'} Y\xrightarrow{g}X.$ Ahora bien, ¿hace esto que el diagrama relevante conmute? En otras palabras, ¿tenemos $f\circ g\circ f' = f'$ ? Bueno, como estamos en una categoría aditiva, esto es lo mismo que preguntar si $f\circ g \circ f' - f' = 0.$ Pero $$f\circ g\circ f' - f' = (f\circ g - \operatorname{id}_Y)\circ f' = h\circ f',$$ que fue $0$ por suposición.

Finalmente debemos demostrar que dados dos mapas $\alpha,\beta : X'\to X$ tal que $f\circ\alpha = f\circ\beta = f',$ tenemos $\alpha = \beta.$ Sin embargo, esto es una consecuencia directa de la propiedad de la sección: \begin{align*} f\circ\alpha &= f\circ\beta\\ \implies g\circ f\circ\alpha &= g\circ f\circ\beta\\ \implies \alpha &= \beta. \end{align*}

Answer 2

Dejemos que $f:X\rightarrow Y \in$ Hom $(X,Y)$ sea una sección de $\mathcal{C}$ entonces la secuencia corta exacta

se divide, es decir, hay un isomorfismo $X\oplus Z\stackrel{h}{\longrightarrow} Y$ . Además, por definición de sección existe $g:Y\rightarrow X$ en Hom $_{\mathcal{C}}(Y,X)$ s.t. $gf=1_{X}$ Entonces, hay $gh:X\oplus Z\longrightarrow X$ observamos que $gh$ es único $h$ .

Ahora, dejemos que $v:Y\to Z$ un morfismo entonces $(X,f)$ es un núcleo de $v$ por la razón de

1) $vf=0$ . 2)Que $h:X\oplus Z\to Y$ sea un morfismo s. t. $vh=0$ sólo hay una función de $X\oplus Z$ à $Y$ viene dada por $gh$ s.t. $f(gh)=(fg)h=(1_{X}h)=h$ .