¿Cómo se verifica este límite?

Question

Le pido que me dé alguna pista sobre cómo mostrarlo:

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{dx}{(1+x/n)^n}=1-\exp(-1)$$

¡Muchas gracias!

Answer 1

Bien por sustitución, $u=1+ \frac{x}{n}$ , $du=\frac{dx}{n}$ , $$\int\frac{dx}{(1+\frac{x}{n})^n}=n\int\frac{du}{u^n}=\frac{n}{1-n}u^{-n+1}=\frac{n}{1-n}(1+\frac{x}{n})^{-n+1}$$ para $n>1$ . Creo que el OP puede manejar el resto

EDIT: Permítanme añadir algunos detalles más. Tenemos $$\int_0^1\frac{dx}{(1+\frac{x}{n})^n}=\frac{n}{1-n}(1+\frac{1}{n})^{-n+1}-\frac{n}{n-1}$$ Ahora como $n\to \infty$ , $\frac{n}{1-n}=\frac{1}{\frac1n-1}\to -1$ . Desde $e=\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$ el resultado es el siguiente.

Answer 2

SUGERENCIA: Basta con evaluar la integral. Para $n>1$ tienes

$$\int_0^1\frac{dx}{(1+x/n)^n}=\int_0^1\left(1+\frac{x}n\right)^{-n}dx=\left[\frac{n}{n+1}\left(1+\frac{x}n\right)^{-n+1}\right]_0^1\;;$$

evaluando que te deja con un límite que involucra piezas que deberían ser bastante familiares.

Answer 3

De otra manera:

La secuencia de unciones $\frac {1}{(1+x/n)^n}$ está dominada por la función integrable $g$ (donde $g(x)=1$ para todos $x\in [0,1]$ , ahora se puede utilizar el teorema de convergencia dominada de Lesbesuge.

Answer 4

$$\int_0^1\frac{dx}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}=n\int_0^1\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}\left(\frac{1}{n}dx\right)=\left.\frac{n}{1-n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{1-n}\;\right|_0^1=$$

$$=\frac{n}{1-n}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1-n}-1\right]=\frac{n}{1-n}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{-1}-1\right)\xrightarrow [n\to\infty]{} (-1)\left(1\cdot e^{-1}-1\right)=1-e^{-1}$$