Mostrando una secuencia de integrales converge a cero

Question

Deje $\varphi$ ser un complejo de valores de la función es analítica en $\{z \in \mathbb C : |z| \leq 2\}$, vamos a $\gamma$ ser el círculo unidad en el plano complejo, y definir

$$ F_n(z) = \int_\gamma \frac{1}{s-z} \int_{-2}^{2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-s}\,dt\,ds, $$

donde $|z| < 1/2$.

Pregunta principal: ¿Es cierto que $F_n(z) \to 0$ uniforme para$|z| < 1/2$$n \to \infty$?

Debemos tener en cuenta que la integral doble existe. De hecho, por las propiedades de Cauchy-tipo de integrales (ver Gakhov, Problemas de Valor de Frontera o aquí), la función

$$ g(s) = \int_{-2}^{2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-s}\,dt $$

es analítica en $\mathbb C \setminus [-2,2]$ y tiene continuas ampliaciones de la parte superior e inferior de la mitad de los aviones para el intervalo de $(-2,2)$ que satisfacer

$$ \lim_{\epsilon \to 0^+} g(x \pm i\epsilon) = \pm i\pi e^{-nx^2} \varphi(x) + \operatorname{P. V.} \int_{-2}^{2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-x}\,dt $$

para $-2 < x < 2$. En consecuencia, $g(s)$ es continua en a $\gamma$ a excepción de dos discontinuidades de salto en $s = \pm 1$.

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Idea para un enfoque

Tengo una idea para un enfoque que hasta ahora he sido incapaz de hacer riguroso. Al final hay un par de problemas que veo con lo que me agradecería comentarios.

Primero me gustaría dividir el interior de la integral en

$$ \int_{-2}^{2} = \int_{|t| < 1} + \int_{1 < |t| < 2}, $$

y por lo que escribir

$$ F_n(z) = \int_\gamma \frac{1}{s-z} \int_{|t| < 1} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-s}\,dt\,ds + \int_\gamma \frac{1}{s-z} \int_{1 < |t| < 2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-s}\,dt\,ds. \etiqueta{1} $$

Ahora cambie el orden de integración en ambas integrales. La primera se convierte en

$$ \int_\gamma \frac{1}{s-z} \int_{|t| < 1} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-s}\,dt\,ds = \int_{|t|<1} e^{-nt^2} \varphi(t) \int_\gamma \frac{ds}{(s-z)(t-s)}\,dt, $$

y el interior de la integral de aquí es

$$ \int_\gamma \frac{ds}{(s-z)(t-s)} = 2\pi i \left(\frac{1}{t-z} - \frac{1}{t-z}\right) = 0. $$

La segunda integral en $(1)$ se convierte en

$$ \begin{align} \int_\gamma \frac{1}{s-z} \int_{1 < |t| < 2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-s}\,dt\,ds &= \int_{1 < |t| < 2} e^{-nt^2} \varphi(t) \int_\gamma \frac{ds}{(s-z)(t-s)}\,dt \\ &= 2\pi i \int_{1 < |t| < 2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-z}\,dt, \end{align} $$

así llegamos a la conclusión de que

$$ F_n(z) = 2\pi i \int_{1 < |t| < 2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-z}\,dt. $$

Entonces

$$ \begin{align} e^{n} |F_n(z)| &= 2\pi \left| \int_{1 < |t| < 2} e^{-n(t^2-1)} \frac{\varphi(t)}{t-z}\,dt \right| \\ &\leq 2\pi \cdot \operatorname{Length}(\{1 < |t| < 2\}) \cdot \sup_{1 < |t| < 2} \left( e^{-n(t^2-1)} \frac{|\varphi(t)|}{|t-z|} \right) \\ &\leq 2\pi \cdot 2 \cdot \sup_{1 < |t| < 2} \left(1 \cdot \frac{|\varphi(t)|}{1/2} \right) \\ &\leq C \end{align} $$

para algunas constantes $C > 0$, por lo que

$$ |F_n(z)| \leq Ce^{-n} \to 0 $$

de manera uniforme para$|z| < 1/2$$n \to \infty$.

Hay un par de problemas que veo con esto:

• Puede intercambiar el orden de integración se justifica en ambos casos?

• Son las evaluaciones posteriores del interior de integrales utilizando el teorema de los residuos válido?

Answer 1

De acuerdo a sus fuentes,
$$ g_n(s) = \int_{-2}^{2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-s}\,dt $$ es analítica en $\mathbb C \setminus [-2,2]$ y tiene continuas ampliaciones de la parte superior e inferior de la mitad de los aviones para el intervalo de $(-2,2)$ que satisfacer $$ \lim_{\epsilon \to 0^+} g_n(x \pm i\epsilon) = \pm i\pi e^{-nx^2} \varphi(x) + \operatorname{P. V.} \int_{-2}^{2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-x}\,dt $$ para $-2 < x < 2$ (en consecuencia, $g_n(s)$ es continua en a $\gamma$ a excepción de dos discontinuidades de salto en $s = \pm 1$).

deje $\epsilon >0$. Para cada $s$ en el círculo unitario tal que $|s-1|\leq \epsilon$, o $|s-(-1)|<\epsilon$, está claro que $|g_n(s)|$ está delimitado por algún número real positivo $K$, no importa lo que se $n$ o $s$. [Edit: en realidad, esto necesita un poco de justificación para que el P. V integral, véase por ejemplo el Documento, que puede ser inmediatamente adaptado, o ver la EDIT2 abajo]

Además, ${1\over |s-z|}$ está delimitada desde arriba por algún número positivo $M$ por cada $|z|\leq 1/2$ $s$ sobre el círculo unidad. Así, la elección de $\epsilon$ suficientemente pequeño, y se denota por a $\gamma_\epsilon$ el pequeño de dos piezas de la unidad de círculo cerca de $\pm 1$$\epsilon$, usted puede asegurarse de que $$\Big|\int_{\gamma_\epsilon}{1\over s-z} g_n(s)ds\Big| \leq \int_{\gamma_\epsilon}MK ds$$ is as small as desired, independently of $z$ and $$n. Nos deja denotar por $\gamma'$ la unidad de círculo a partir de que $\gamma_\epsilon$ ha sido eliminado. El problema es que ahora para mostrar la convergencia uniforme en $\gamma'$.

Ahora, la función de $\Big|{\varphi(t)\over t-s}\Big|$ está delimitado por algún número positivo $L$ siempre $s$ $\gamma'$ $t$ entre $-2$$2$, por lo que no tiene $$|g_n(s)|\leq \int_{-2}^2 Le^{-nt^2} dt \leq u_n,$$ donde $u_n\to 0$ $n\to 0$ (la prueba es fácil).

A la conclusión de que $\Big|\int_{\gamma'}{1\over s-z} g(s) dt ds\Big|\leq \int_{\gamma'} Mu_n ds < v_n$, para algunos secuencia $v_n \to 0$ $n\to 0$ (Q. E. D).

P. S : con respecto a su "solución", creo que es incorrecto: no se puede dividir la integral que representa a $g(s)$ en dos partes, pues está claro que cada parte divergente siempre $s=1$ o $s=-1$. El único sentido que puede darse a la integral en estos puntos es a través del valor principal de Cauchy.

EDIT2: he de añadir aquí la justificación de que el $g_n(s)$ son uniformemente acotadas por $K$ por cada $n$ $s\in \gamma$ tal que $|s-(\pm1)|<\epsilon$, $\epsilon$ suficientemente pequeño. Establecimiento $s = x+iy$, y teniendo en cuenta que
$$ \lim_{y \to 0^+} g_n(x \pm iy) = \pm i\pi e^{-nx^2} \varphi(x) + \operatorname{P. V.} \int_{-2}^{2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-x}\,dt, $$ basta probar que $$\pm i\pi e^{-nx^2} \varphi(x) + \operatorname{P.V.} \int_{-2}^{2} e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-x}\,dt$$ is bounded by some $K$, no matter what are $x\in [-1,1]$ or $$n. Está claro que $|i\pi e^{-nx^2}\varphi(x)|$ está delimitada desde arriba (desde $\varphi$ es analítica en $[-2, 2]$ por hipótesis, por tanto, continua en este intervalo). Así, no es suficiente para mostrar que el P. V integral está delimitada desde arriba. La función de $f(z)=e^{-nz^2}\varphi(z)$ es analítica en el dominio $|z|\leq 2$, y desempeña el mismo papel que la función de $f$ en el documento que he indicado. En otras palabras, definir el camino de $\gamma^{(\epsilon)}_1$$[-2, x-\epsilon]\cup [x+\epsilon, 2]$, el camino de $\gamma^{(\epsilon)}_2$$t\mapsto x+\epsilon e^{it}$,$\pi\geq t\geq 0$, e $\gamma_3$$t\mapsto 2e^{it}$,$0\leq t\leq \pi$. A continuación, exactamente como se indica en el documento, usted tiene $$-P.V\int_{-2}^2 e^{-nt^2} \frac{\varphi(t)}{t-x}\,dt = \lim_{\epsilon\to 0} \int_{\gamma^{(\epsilon)}_2}{f(z)\over z-x}dz + \int_{\gamma_3}{f(z)\over z-x}dz = -i\pi f(x) + C,$$ para algunas constantes $C$. Esto muestra la disputa.