Confundido sobre la respuesta final para el espacio vectorial de polinomios.

Question

Un amigo y yo estamos trabajando en algunos problemas de álgebra lineal, y hemos llegado a un pequeño escollo para la forma correcta de ver esto. Las preguntas preguntan "Sea T un subespacio de polinomios P2(t) abarcado por, $$p_1= 1+t+t^2$$ $$p_2= 2 + 2t + 2t^2$$

$$p_3=-t$$

$$p_4=1+t^2$$ (que se indica en la pregunta). Encuentra un subconjunto de los polinomios que forman una base para T.

Aquí es donde está la confusión. Escribí los vectores como columnas y filas reducidas, luego elegí las columnas que tenían entradas principales ( p1 y p3 ) es decir en la forma $$\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}$$

y dijo que estos polinomios forman una base. Sin embargo, mi amigo dice que en realidad hay cinco respuestas, porque cualquiera de los otros polinomios distintos de {p1,p2} son combinaciones lineales

¿Es eso cierto? A mí me parece que la única respuesta correcta es la que tiene las entradas principales?

Gracias a todos

Answer 1

Su amigo tiene razón. De hecho, sólo hay un conjunto de dos vectores que no puede elegir: $\{p_1, p_2\}$ .

Para ver por qué son posibles las respuestas múltiples, prueba esto: Escribe los vectores en un orden diferente. En concreto, intenta cambiar $p_1$ y $p_4$ y luego haga exactamente lo que hizo antes (escriba una matriz, redúzcala en filas, elija los vectores correspondientes a los principales $1$ 's).

Observa que cuando escribes los polinomios en el orden $p_4, p_2, p_3, p_1$ su algoritmo le dice que elija $\{p_4, p_2\}$ .

Básicamente, el algoritmo que estás utilizando es sólo una forma de elegir vectores. Específicamente siempre te va a dar el primero vectores de la lista que funcionan. Cuando los enumeró en orden $p_1, p_2, p_3, p_4$ escogió $p_1$ primero (siempre elegirá el primer vector sin importar el orden en que se coloquen estos $4$ vectores en). Entonces vio que no podía elegir $p_2$ por lo que eligió $p_3$ que era el siguiente. Cuando los enumeró en orden $p_4, p_2, p_3, p_1$ escogió $p_4$ primero y escogió $p_2$ segundo, por lo que elige los dos primeros vectores que se le permite elegir.