Est $Var(x | x \le \tau)$ que aumenta débilmente en $\tau$ ?

Question

Estoy interesado en $Var(x | x\le \tau)$ está aumentando en $\tau$ , donde $x$ es alguna variable aleatoria con cdf diferenciable. Puedo demostrar que $E[x | x\le \tau]$ está aumentando en $\tau$ , lo cual es intuitivamente obvio, mediante el siguiente cálculo: $$ \frac{\partial}{\partial\tau}E[x\mid x\le\tau]=\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\int_{-\infty}^{\tau}\frac{xf(x)}{F(\tau)}dx\right)=\frac{f(\tau)}{F(\tau)}(\tau-E[x\mid x\le\tau]). $$

En una línea similar, probé lo siguiente: $$ \begin{align*} \frac{\partial}{\partial\tau}Var[x\mid x\le\tau] & =\frac{\partial}{\partial\tau}\left(E[x^{2}\mid x\le\tau]-E[x\mid x\le\tau]^{2}\right)\\ & =\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\int_{-\infty}^{\tau}\frac{x^{2}f(x)}{F(\tau)}dx-(\int_{-\infty}^{\tau}\frac{x f(x)}{F(\tau)}dx)^{2}\right)\\ & =\frac{f(\tau)}{F(\tau)}\left[\tau^{2}-E[x^{2}\mid x\le\tau]-2(E[x\mid x\le\tau]-\tau)\right] \end{align*} $$

¿Es esto correcto? Tengo una duda porque (i) un resultado de simulación no coincide con la fórmula analítica que tengo aquí (aunque la derivada de $E[x\mid x\le \tau]$ se verifica mediante una simulación) y (ii) no está claro si $Var[x\mid x\le \tau]$ está aumentando en $\tau$ del resultado, aunque un montón de simulaciones sugieren que está aumentando. Si $Var(x\mid x\le \tau)$ no aumenta en general, ¿en qué condiciones aumentan? Por ejemplo, ¿qué pasa si $x$ se apoya en valores positivos?

Answer 1

Dudo que sea posible para la variante condicional $\text{Var}(X \mid X \le \tau) $ sea estrictamente decreciente para todo $\tau$ pero ciertamente es posible que sea débilmente decreciente para todos $\tau$ y estrictamente decreciente para algunos $\tau$ .

Una formulación alternativa es tomar $Y=-X$ y $t=-\tau$ y pregunte por $\text{Var}(Y \mid Y \ge t)$ en función de $t$ .

Si $Y$ tiene una distribución exponencial con una tasa $\lambda$ entonces $\text{Var}(Y \mid Y \ge t)$ es constante $\frac{1}{\lambda^2}$ para todos $t$ Esto es una consecuencia directa de la propiedad sin memoria de la distribución exponencial. Por lo tanto, algún ajuste de $Y$ debería obtener la propiedad deseada.

Uno de ellos es $Z=Y^2$ por ejemplo, establecer $\lambda=1$ y con CDF $F_Z(z) = 1-e^{-\sqrt{z}}$ y la densidad $f_Z(z) = \frac{e^{-\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}}$ cuando $z \ge 0$ . A continuación, se obtiene

• $\mathbb E[Z \mid Z \ge t] = t+2 \sqrt{t}+2$
• $\text{Var}(Z \mid Z \ge t) = 4t+16 \sqrt{t}+20$

cuando $t \ge 0$ , mientras que $\mathbb E[Z \mid Z \ge t] = \mathbb E[Z]=2$ y $\text{Var}(Z \mid Z \ge t) = \text{Var}(Z)=20$ cuando $t \le 0$ . Son funciones crecientes de $t$ .

Sólo invertimos los signos para responder a su pregunta. Si $X$ tiene CDF $F_X(x) = e^{-\sqrt{-x}}$ y la densidad $f_X(x) = \frac{e^{-\sqrt{-x}}}{2\sqrt{-x}}$ para $x \le 0$ entonces $\text{Var}(X \mid X \le \tau) = -4\tau+16 \sqrt{-\tau}+20$ para $\tau\le 0$ que es una función decreciente de $\tau$ .

Si quieres que un ejemplo sea estrictamente decreciente para algún positivo $\tau$ , sólo cambia $X$ por ejemplo, con CDF $F_X(x) = e^{-\sqrt{5-x}}$ cuando $x \le 5$ la varianza condicional seguirá siendo decreciente, y estrictamente decreciente para $\tau \le 5$ .