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Sigue siendo difícil después de todos estos años

Creo que todos esperamos secretamente que a largo plazo las matemáticas sean más fáciles, en el sentido de que con los avances de la perspectiva, los resultados difíciles de hoy les parecerán más fáciles a los matemáticos del futuro. Si me congelaran criogénicamente hoy, y me descongelaran dentro de cien años, me gustaría creer que en 2110 el programa de Langlands se reduciría a un panfleto de 10 páginas (con pruebas completas) que podría leer durante el desayuno.

¿Es plausible esta creencia? ¿Existen resultados de hace cien años que no se hayan simplificado sensiblemente con el paso de los años? Desde el punto de vista de un matemático moderno, ¿cuál es el teorema más difícil de demostrar hace cien años (más o menos)?

El teorema más difícil que se me ocurre es el Teorema del mapa de Riemann que fue propuesto por primera vez por Riemann en 1852 y (según Wikipedia) demostrado rigurosamente por Caratheodory en 1912. ¿Hay otras más difíciles?

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steevc Puntos 211

La dificultad no es aditiva, y medir la dificultad de probar un solo resultado no es una buena medida de la dificultad de entender el conjunto de trabajos en un campo determinado como un todo.

Supongamos, por ejemplo, que hace 100 años había diez teoremas importantes en (digamos) el análisis complejo, cada uno de los cuales requería 30 páginas de argumentos elementales para ser demostrado, sin que hubiera mucho en común entre estos argumentos separados. (Hoy en día, gracias a los avances en la comprensión del "panorama general", podemos describir la teoría central del análisis complejo en, digamos, 40 páginas, pero cada uno de los diez teoremas importantes se convierten en consecuencias de una página de esta teoría. Al hacer esto, en realidad hemos alargado la cantidad total de páginas necesarias para demostrar cada teorema (41 páginas, en lugar de 30); pero la cantidad neta de páginas necesarias para comprender el tema en su conjunto se ha reducido drásticamente (de 300 páginas a 50). En general, es una compensación que merece la pena (aunque conocer las pruebas elementales de "baja tecnología" sigue siendo útil para completar la comprensión del tema).

En la actualidad existen pruebas muy hábiles y breves de, por ejemplo, el teorema de los números primos, pero en realidad ésta no es la mejor medida de lo bien que entendemos dicho resultado y, lo que es más importante, de cómo encaja con el resto de su campo. El hecho de que podamos incorporar el teorema de los números primos en una historia mucho más general de las funciones L, los campos numéricos, los productos de Euler, etc., que luego se relaciona con muchas otras partes de la teoría de los números, es una señal mucho más fuerte de que entendemos la teoría de los números en su conjunto.

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Bob Somers Puntos 4186

Teoría global del campo de clases. Los enunciados son relativamente sencillos (de la forma "la abelianización del grupo de Galois absoluto de un campo numérico (o, más generalmente, de un campo global) tiene este aspecto"). Esto sólo tiene unos 90 años de antigüedad; todo depende de lo que se entienda exactamente por teoría de campos de clases globales. No soy historiador, pero los precursores de los teoremas en su forma actual tienen más de 100 años y Hilbert ya planteó la cuestión de hacerlos más "explícitos" como uno de sus problemas (quería ver la generación concreta de extensiones abelianas de un campo numérico arbitrario en lugar de un isomorfismo abstracto de un grupo de Galois con otro grupo). Las pruebas originales eran seguramente más largas que las actuales, pero las pruebas actuales siguen siendo muy muy largas. Si quiere una demostración de los principales teoremas de la teoría de campos de clases, hoy en día hay una serie de libros entre los que puedes elegir. Creo que esto es una fuerte prueba de que la creencia en la pregunta original es demasiado optimista. Creo que las cosas, en cierto sentido, sólo van a empeorar.

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MobileCushion Puntos 217

Aunque la idea que hay detrás de todo esto es infantilmente simple, el método de la geometría analítica es tan poderoso que los chicos de diecisiete años pueden utilizarlo para demostrar resultados que habrían desconcertado a los más grandes geómetras griegos: Euclides, Arquímedes y Apolonio.
---E.T. Bell, "Men of Mathematics"

11voto

marcospereira Puntos 3144

Me gustaría creer que en 2110 el programa de Langland se reduciría a un panfleto de 10 páginas (con pruebas completas) que podría leer durante el desayuno. ¿Es esta creencia plausible?

En cierto modo, no. El problema es que no puede haber una función computable f:\mathbb N\rightarrow\mathbb N de tal manera que cada pregunta que pueda ser enunciada con n símbolos (en el lenguaje de la teoría de conjuntos, digamos) tiene una prueba, una refutación o una prueba que es independiente de la teoría de conjuntos, que no es más que f(n) símbolos largos.

De hecho, esto contradiría el resultado (que se remonta a Gödel) de que no hay ningún algoritmo que determine qué enunciados son demostrables: si tal f existía el algoritmo sería simplemente buscar a través de todas las pruebas de longitud como máximo f(n) .

En este sentido, las matemáticas siempre van a ser difíciles.

5voto

Steven Behnke Puntos 327

Las pruebas se simplificarán, pero la simplificación tiene un límite. Creo que es más importante una organización del conocimiento matemático y de la educación de manera que sea posible encajar la demostración de cualquier resultado razonable en un folleto de 10 páginas que una persona con una educación media pueda leer durante el desayuno.

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