Prueba de la primacía $p\mid ab\,\Rightarrow\, p\mid a\,$ o $\,p\mid b\,$ sin utilizar el Teorema Fundamental de la Aritmética

Question

Déjalo: $p$ $\in \mathbb{P}$ $\wedge$ $n_{1},n_{2}\in \mathbb{Z}$ . Entonces: $p|(n_{1}n_{2})\implies p|n_{1} \vee \space p|n_{2} $

Esta pequeña hipótesis es sencilla al utilizar el teorema fundamental de la aritmética. También sé que se puede demostrar directamente mediante el uso de la contraposición de la implicación anterior. Sin embargo, me pregunto cómo hacer esto sin referirse al teorema fundamental de la aritmética o a la contraposición. Creo que debe ser muy fácil, pero ahora mismo no lo veo. Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Supongamos que $p\not\mid n_1$ Así que $\gcd(p,n_1)=1$ . Ahora bien, como $p\mid n_1n_2$ y $p\mid pn_2$ entonces por el definición de $\gcd$ tenemos $$p\mid \gcd(pn_2, n_1n_2)=n_2\gcd(p,n_1)^{*}=n_2.$$

En (*) hemos utilizado la propiedad $\gcd(ac,bc)=c\gcd(a,b)$ .

Answer 2

Supongamos que $p\not\mid n_1$ . Entonces existen enteros $x,y$ tal que $px+n_1 y=1.$ Múltiple ambos lados por $n_2$ $$ p (x n_2)+ n_1 n_2 y =n_2. $$ $p$ divide el LHS así $p \mid n_2.$