$\{u_j\}$ armónico, entonces si $\max_{y\in \partial\Omega}|u_j(y)-u_k(y)|\le \frac{1}{j}+\frac{1}{k}, \ k,k=1,2,\cdots$ , $\{u_j\}$ converge uniformemente

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un abierto acotado de $\mathbb{R}^N$ y considerar una secuencia $\{u_j\}$ de funciones armónicas en $\Omega$ Cada una de ellas es continua. en $\overline{\Omega}$ . Supongamos que $$\max_{y\in \partial\Omega}|u_j(y)-u_k(y)|\le \frac{1}{j}+\frac{1}{k}, \ k,k=1,2,\cdots$$ Demostrar que $\{u_j\}$ converge uniformemente en $\overline{\Omega}$ para una función $u\in C(\overline{\Omega})$ que sigue siendo armónico en $\Omega$

Estoy estudiando las EDP y las cosas que ya vi son el principio de máximo débil y fuerte, la fórmula de representación, la propiedad del valor medio y algunas otras cosas menores. Hablo del principio de máximo porque veo un máximo ahí, pero puede que no tenga nada que ver.

Esta condición me recuerda a las secuencias de Cauchy, pero no veo nada evidente. Realmente no sé cómo empezar, así que cualquier pista será apreciada.

Answer 1

Supongo que $\Omega$ es un límite, conectado conjunto abierto y que $u_k \in C^0(\overline{\Omega})\cap C^2(\Omega)$ para todos $k \in \mathbb{N}$ . Supongamos que para todos los $j, k \in \mathbb{N}$ la desigualdad $$\begin{equation} \max_{x \in \partial \Omega} \lvert u_j(x) - u_k(x) \rvert \leq \frac{1}{j} + \frac{1}{k}\, . \quad (1) \end{equation}$$ Paso 1. Primero mostramos que $(u_k)_k$ es una secuencia de Cauchy en $C^0(\overline{\Omega})$ . Arreglar $k, j \in \mathbb{N}$ y establecer $w = u_j - u_k$ . Entonces $w \in C^0(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega)$ es armónico y por tanto se cumple el principio de máximo débil, es decir $$\begin{equation} \max_{x \in \overline{\Omega}} \lvert w(x) \rvert = \max_{x \in \partial \Omega} \lvert w(x) \rvert \, . \quad (2) \end{equation}$$ Combinando $(1)$ y $(2)$ encontramos que $$\begin{equation} \max_{x \in \overline{\Omega}} \lvert u_j(x) - u_k(x) \rvert=\max_{x \in \partial \Omega} \lvert u_j(x) - u_k(x) \rvert \leq \frac{1}{j} + \frac{1}{k} \end{equation}$$ para todos $j, k \in \mathbb{N}$ . De ello se deduce que $(u_k)_k$ es una secuencia de Cauchy en $C^0(\overline{\Omega})$ . Como $\Omega$ está acotado, $C^0(\overline{\Omega})$ es un espacio de Banach y por tanto existe una función $u \in C^0(\overline{\Omega})$ tal que $u_k \to u$ en $C^0(\overline{\Omega})$ .

Paso 2. Utilizamos la propiedad del valor medio para demostrar que el límite $u$ es armónico. Es decir, demostramos que $$\begin{equation} u(x_0) = \frac{1}{\lvert B_r(x_0) \rvert}\int_{B_r(x_0)} u(y) \, \text{d} y \quad (3) \end{equation}$$ para todos $B_r(x_0) \Subset \Omega$ . Arreglar $x_0 \in \Omega$ y $r>0$ tal que $B_r(x_0) \Subset \Omega$ . Para cada $u_k$ es armónico, encontramos que $$\begin{align} \bigg\lvert u(x_0) - \frac{1}{\lvert B_r(x_0) \rvert} \int_{B_r(x_0)} u\bigg \rvert &\leq \lvert u(x_0) - u_k(x_0) \rvert + \bigg\lvert u_k(x_0) - \frac{1}{\lvert B_r(x_0) \rvert} \int_{B_r(x_0)} u \bigg\rvert \\ & \leq \max_{x \in \overline{\Omega}} \lvert u(x) - u_k(x)\rvert + \frac{1}{\lvert B_r(x_0) \rvert} \int_{B_r(x_0)} \lvert u_k - u \rvert \\ & \leq 2 \max_{x \in \overline{\Omega}} \lvert u(x) - u_k(x) \rvert \, . \quad (4) \end{align}$$ Como $u_k \to u$ en $C^0(\overline{\Omega})$ podemos enviar $k \to \infty$ en $(4)$ y obtener $(3)$ . Esto demuestra la afirmación.