El problema inverso de Galois y el Monstruo

Question

Tengo un ligero interés en el problema inverso de Galois y en el grupo Monster. Hace tiempo aprendí que todos los grupos simples esporádicos, con la excepción del grupo de Mathieu $M_{23}$ se ha demostrado que son grupos de Galois sobre $\mathbb{Q}$ .

En particular, se ha demostrado que el grupo Monster es un grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ . ¿Qué técnicas se utilizan para demostrar tal afirmación?

Está demostrando que $M_{23}$ también es Galois sobre $\mathbb{Q}$ ¿al alcance de la mano? Supongo que no se aplican las mismas técnicas, pues es un grupo mucho más manejable que el Monstruo.

Answer 1

El monstruo es un buen ejemplo de cómo el llamado método de la rigidez para el problema inverso de Galois funciona. Hay un montón de bellas matemáticas detrás de esto, voy a esbozar los diferentes pasos.

Una observación general: se sabe que todo grupo profinito, es decir, todo grupo que podría ser un grupo de Galois de alguna extensión de campo, es efectivamente el grupo de Galois de algunos Extensión de Galois. Esto es todavía bastante elemental (un resultado de Leptin, también demostrado por Waterhouse). Para que la cuestión de Galois inversa sea más interesante, debemos considerar un campo base fijo $K$ . No podemos esperar que cualquier grupo profinito siga siendo un grupo de Galois sobre $K$ - todo grupo de Galois sobre $K$ es un cociente del grupo de Galois absoluto de $K$ y, por tanto, la cardinalidad de un grupo de Galois sobre $K$ está acotado desde arriba, mientras que es fácil ver que hay grupos profinitos que son "estrictamente mayores" en cardinalidad. Así que una pregunta muy razonable es, en efecto, preguntar si todo grupo finito es un grupo de Galois sobre algún campo base fijo $K$ . El caso más natural es plantear la pregunta para $K = \mathbb{Q}$ pero también se pueden considerar otros campos base - por ejemplo, para $K = \mathbb{C}(t)$ la conjetura inversa de Galois es verdadera. De hecho, los problemas de Galois inverso para diferentes campos base $K$ a veces están estrechamente vinculados; el método que esbozaré a continuación es una ilustración perfecta para ello, ya que tendremos que considerar cuatro campos base diferentes: $\mathbb{C}(t)$ , $\overline{\mathbb{Q}}(t)$ , $\mathbb{Q}(t)$ , y por supuesto $\mathbb{Q}$ .

(1) Se parte del hecho de que cada grupo finito $G$ puede realizarse como un grupo de Galois sobre $\mathbb{C}(t)$ . Esto se deduce de la teoría de las coberturas de las superficies de Riemann; si $G$ puede ser generado por $n - 1$ elementos, entonces podemos realizar $G$ como cociente del grupo fundamental de la esfera de Riemann puntuada $\pi_1^{\text{top}}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$ donde elegimos los puntos $P_1,P_2,\,\cdots,P_n$ para ser racional.

(2) Utilizamos la teoría del grupo fundamental étale para obtener un isomorfismo $\pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\}) = \pi_1(\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$ que nos permite realizar $G$ como grupo de Galois sobre $\overline{\mathbb{Q}}(t)$ . [ $\pi_1$ es el grupo fundamental étale - aquí la terminación profinita de la versión topológica].

[Por supuesto, esto ya es material avanzado; véase el Artículo de Wikipedia para los antecedentes. Para una introducción adecuada a la teoría, está SGA 1 de Grothendieck; y el reciente libro "Galois groups and fundamental groups" de Tamas Szamuely es una introducción muy suave (y hace todo esto en detalle)].

(3) Existe una secuencia exacta

$1 \to \pi_1(\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\}) \to \pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{Q}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\}) \to \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}|\mathbb{Q}) \to 1$

(este es un resultado muy fundamental; véanse de nuevo los libros que he mencionado) y básicamente ahora queremos extender un homomorfismo sobreyectivo de $\pi_1(\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$ a $G$ a un homomorfismo surjetivo de $\pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{Q}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$ a $G$ . Por supuesto, esto depende en gran medida de la estructura del grupo $G$ . Esto funciona para muchos grupos simples finitos; la construcción es bastante general, pero para grupos particulares siempre hay que hacer algún trabajo técnico para demostrar que el método se aplica. En particular funciona para grupos finitos con un centro trivial, y un sistema rígido de clases de conjugación racionales - Son condiciones bastante técnicas, por supuesto, y me limitaré a exponer las definiciones. Un $n$ -pareja de clases de conjugación $C_1,C_2,\,\cdots,C_n$ de $G$ es rígido si existe $(g_1,g_2,\,\cdots,g_n) \in G^n$ de manera que el $g_i$ generar $G$ , $g_1g_2\cdots g_n = 1$ y $g_i \in C_i$ y si además $G$ actúa de forma transitiva sobre el conjunto de todos esos $n$ -tuplas $(g_1,g_2,\,\cdots,g_n)$ . Una clase de conjugación $C$ de $G$ es racional si $g \in C$ implica $g^m \in C$ para todos $m$ coprima al orden de $G$ . No voy a explicar por qué precisamente estas condiciones te dan lo que quieres, ya que es realmente técnico. Szamuely lo explica muy claramente. Las condiciones se pueden generalizar, pero eso no lo hace más legible...

[Referencias: la sección 4.8 del libro de Szamuely que mencioné antes, y también el maravilloso libro de Serre "Topics in Galois theory", que quizás debería llamarse "Topics in inverse Galois theory" :)]

(4) El paso anterior nos permite descender de $\overline{\mathbb{Q}}(t)$ a $\mathbb{Q}(t)$ es decir, realizar $G$ como grupo de Galois de un regular extensión -otra noción técnica que no voy a explicar, pero que no carece de importancia- de $\mathbb{Q}(t)$ . Descender de $\mathbb{Q}(t)$ a $\mathbb{Q}$ , hay Teorema de irreducibilidad de Hilbert o alguna ligera generalización (no recuerdo exactamente).

Según Thompson, el Monstruo tiene un sistema rígido de tres clases racionales de conjugación de órdenes 2, 3 y 29. Así que el método se aplicará; por supuesto, supongo que será muy difícil construir estas clases de conjugación, y está claro que la clasificación de los grupos simples finitos ha jugado un papel muy importante en estos desarrollos. (Pero no soy un teórico de grupos, así que quien sepa cómo funciona esto es bienvenido a dar información adicional sobre esta construcción :))

Espero que esto le dé una idea; escribí esto con prisa, así que las sugerencias para hacerlo más claro o coherente (o, por supuesto, las correcciones de los detalles que me equivoqué) son siempre bienvenidas.

Answer 2

Añadiré un breve comentario a la exhaustiva y útil respuesta de Arne Semeets. Si fijo tres clases racionales de conjugación c_0, c_1, c_infty en un grupo finito G, entonces hay un número finito de clases de isomorfismo de coberturas G no ramificadas

X -> P^1 - 0,1,infty /Qbar

con la propiedad de que la imagen de la inercia domesticada en 0 (resp 1,infty) se encuentra en la clase c_0 (resp c_1,c_infty) de G.

Llamamos H al conjunto de tales cubiertas. ¿Qué es |H|? Se puede comprobar (por comparación con el caso complejo) que el número de tales coberturas es el número de clases de conjugación de triples (g_0,g_1,g_infty) con g_i en c_i y g_0 g_1 g_infty = 1. Decir que (c_0,c_1,c_infty) es rígido es simplemente decir que hay precisamente UN triple de este tipo.

En ese caso, H consta de una sola tapa. Pero es evidente que H se conserva por conjugación de Galois. (Hay que tener un poco más de cuidado cuando G tiene un centro no trivial, en cuyo caso lo que realmente he demostrado es algo más parecido a "hay una cubierta cuya clase de isomorfismo está definida sobre Q", que no es lo mismo en general que "hay una cubierta definida sobre Q".