Energía Molar Gibbs para un gas ideal

Question

Me dan un problema en el que un gas ideal se expande isotérmicamente. Me dan los volúmenes molares del principio y del final y básicamente me piden que encuentre el cambio en la energía de Gibbs.

Empecé con la ecuación

$$G=H -TS$$

Podemos escribir la forma general $dG$

$$\begin{align} dG & = dH -SdT - TdS \\ & = (dE + PdV + VdP)- SdT -TdS \\ & = (TdS - PdV) + PdV + VdP - SdT - TdS \\ & = VdP -SdT \end{align}$$

Es un proceso isotérmico $\to$ (const.) $T$ . Por lo tanto, $SdT \to0$

Ahora nos queda $dG=VdP$ . Necesitamos la energía de Gibb en términos de moles y volúmenes molares. Por lo tanto, la entropía (que de todos modos es cero) y el volumen deben cambiar a volumen molar. Nuestra nueva ecuación está en términos de moles

$$dG_m=V_mdP$$

si asumimos $V_m$ sea constante, lo cual no es así, pero para argumentar podemos obtener la siguiente relación

$$\Delta G_m = V_m\Delta P=RT \ln\Big{(}\dfrac{P_f}{P_i}\Big{)}$$

desde $V_m = \frac{V}{n}=\frac{RT}{P}$ para un gas ideal.

Mi problema es que me gustaría saber si puedo asumir que la presión es constante y tener

$$\Delta G_m = RT \ln \Big{(}\dfrac{V_f}{V_i}\Big{)} $$

¿Es válida esta ecuación para encontrar la energía molar de Gibbs, conociendo los volúmenes molares (inicial y final) y a temperatura constante?

Creo que está mal porque $dG_m = V_mdP$ es válida para la constante $T$ pero la presión no puede ser constante. Sólo he estado luchando con tratar de encontrar una relación con la energía de gibbs y el volumen molar y no saber las presiones.

Answer 1

Tu resultado final es casi correcto, aunque tu derivación es algo cuestionable y, en particular, esta ecuación es errónea: $$\Delta G_m = V_m\Delta P = RT\ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right).$$ Por un lado, como usted ha mencionado, $V_m$ no es constante, por lo que no podemos utilizar la diferencia finita que implica $\Delta$ Y no entiendo cómo habrías conseguido la segunda igualdad sin haberte integrado.

En cambio, deberíamos tener $$\Delta G_m = \int_{G_{m,i}}^{G_{m,f}}\mathrm{d}G_m = \int_{P_i}^{P_f}V_m\,\mathrm{d}P = RT\int_{P_i}^{P_f}\frac{\mathrm{d}P}{P} = RT\ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) = RT\ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right).$$ La tercera igualdad se deduce de $V_m = RT/P$ y la última igualdad resulta de la sustitución de $P = nRT/V$ La ley de los gases ideales y la anulación de los términos.