Complejo conjugado de la ecuación de Schrodinger: ¿paradoja en forma de matriz?

Question

Podemos tomar el conjugado complejo de la ecuación de Schrodinger, y obtener $$ -\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\psi = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} $$

$$ -\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2} + V(x)\psi^* = -i \hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} $$

esto me parece natural, sin embargo, ¿indica también la siguiente forma matricial es válida?(sustituir $E$ con $i\hbar d/dt$ (el segundo es un poco incómodo)

$$ H\phi=E\phi $$ $$ H\phi^*=-E\phi^* $$

Supongamos que tenemos un hamiltoniano $H$ en forma matricial, y resolver el problema de los valores propios, entonces cómo se supone que vamos a saber cuál es " $E$ ", que es " $-E$ ".

Answer 1

El origen de la ecuación de valores propios $H\phi=E\phi$ es el ansatz de separación $$\psi(x,t)=\exp{\left(-i\frac{E}{\hbar}t\right)}\phi(x)$$ Si se conjuga esto, obviamente cambiará el signo del exponente y por tanto se obtendrá el mismo valor propio.

Lo que se intenta afirmar sería algo así como "si $\lambda$ es un valor propio de $H$ Así es $-\lambda$ lo que obviamente no es cierto. Supongamos que tenemos una función propia $\phi$ entonces $\phi^*$ es una función propia del mismo valor propio (no el negativo) debido a la autoadhesión del Hamiltoniano.