Distribución de la varianza de la muestra: Problema de la distribución chi-cuadrado

Question

Estoy preparando un examen y no consigo entender el razonamiento de la respuesta a esta pregunta.

¿Por qué utilizan una prueba de chi-cuadrado? ¿Puede alguien guiarme a través de su explicación? Gracias.

Answer 1

Esto requiere centrarse en algunos detalles quisquillosos (pero importantes), así que voy a intentar explicarlo paso a paso:

$$P(S_X^2 > 1.5\sigma^2) = P\left(\frac{S_X^2}{\sigma^2} > 1.5\right) = P\left(Q =\frac{9S_X^2}{\sigma^2} > 9(1.5)\right)\\ = P(Q > 13.5) = 1-P(Q\le 13.5) = 0.1413 > 0.1,$$

donde $Q \sim Chisq(df=9)$ y he utilizado el software estadístico R para obtener la probabilidad exacta, como se muestra a continuación.

1 - pchisq(13.5, 9)  # in R 'pchisq' is the CDF of Chisq dist'n
## 0.1412558

Le dejaré que busque en sus tablas impresas de la chi-cuadrado para acercarse lo más posible al valor exacto. [En mi tabla: a lo largo de la fila para df=9 y en la columna para cortar 0,1 de la cola superior de la distribución, encuentro 14,6837. Es decir, $P(Q > 14.6837) = 0.1$ Así que $P(Q > 13.5)$ debe ser superior a 0,1. Además, observe que los subíndices en los encabezados de muchas tablas de distribución ponen el área en el cola derecha en el subíndice (no en el área de la izquierda como en el caso de un CDF). En mi tabla, la columna mencionada está encabezada por $\chi_{0.100}^2.$ ]

A continuación se muestra un gráfico de la $Chisq(9)$ PDF. La línea roja vertical está en 13,5; el área bajo la curva a la derecha de esta línea es de 0,1413. La línea vertical verde punteada está en 14,6837.

Ahora, espero que puedas averiguar el argumento similar para $S_Y^2.$

Answer 2

$\chi_n^2 = Z_1^2 + Z_2^2 \cdots + Z_n^2$

Donde $Z_i$ son variables aleatorias normales i.i.d. $n$ son los "grados de libertad". Esta es la definición.

Así que ahora, ¿cómo estimamos nuestros parámetros de dispersión? Calculamos el error cuadrático medio. Es decir:

$s^2 = \frac 1{n-1} \sum_\limits{i=1}^n (X_i-\bar X)^2$

$s^2$ es una estimación con incertidumbre. Es una variable aleatoria en sí misma. ¿Y qué distribución describe nuestra incertidumbre en $s^2$

$X_i-\bar X$ son variables aleatorias distribuidas normalmente.

$\sum_\limits{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = \sigma^2 \chi_n^2$

Y perdemos un grado de libertad de nuestra estimación de $\bar X$

$\sum_\limits{i=1}^n (X_i-\bar X)^2 = \sigma^2 \chi_{n-1}^2$