Si $\mathbf{A}_{n\times n}$ es una matriz semidefinida positiva con valores propios $\{\alpha_k\},\ k\in\{1,...,n\}$ et $\mathbf{B}_{m\times n}$ es una matriz arbitraria con valores singulares $\{\beta_k\},\ k\in\{1,...,\min(m,n)\}$ ¿se puede decir algo sobre los valores singulares $\{\gamma_k\},\ k\in\{1,...,\min(m,n)\}$ de la matriz $\mathbf{\Gamma}=\mathbf{BA}$ ? ¿Hay alguna manera de que pueda relacionar $\gamma_k$ a $\alpha_k$ y $\beta_k$ ?
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Los valores singulares de $B$ son las raíces cuadradas de los valores propios de $B^* B = C$ y los de $BA$ son las raíces cuadradas de los valores propios de $(BA)^* BA = A C A$ . Así que la pregunta es si para las matrices semidefinidas positivas $A$ y $C$ existe alguna relación entre los valores propios de $A C A$ y los de $A$ y $C$ . La respuesta es, en general, no mucho. Se pueden considerar algunas $2 \times 2$ ejemplos, con diferentes $C$ que tienen los mismos valores propios, pero los correspondientes $A C A$ con diferentes valores propios.
Por supuesto, el producto de los valores propios es el determinante, y $\det(ACA) = \det(C) \det(A)^2$ . Además, la suma de los valores propios es la traza, y usando Cauchy-Schwarz se tiene un límite ${\rm tr}(ACA) = {\rm tr}(CA^2) \le ({\rm tr}( C^2))^{1/2} ({\rm tr}(A^4))^{1/2}$ .
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No creo que haya una respuesta sencilla. No estoy familiarizado con los valores singulares. Tengo entendido que son una especie de generalización de los valores propios, cuando las matrices no son cuadradas. Pero incluso en el caso de que ambas matrices $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ son cuadradas y positivas definidas, los valores propios de $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ no fijan los valores propios de $\mathbf{BA}$ . Se necesita más información estructural sobre las matrices. Por ejemplo: Sea $$\mathbf{A}= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right), \mathbf{B}_1= \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{array} \right), \mathbf{B}_2= \left( \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right).$$ Obviamente $\mathbf{B}_1$ y $\mathbf{B}_2$ tienen el mismo conjunto de valores propios, pero $\mathbf{B}_1\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}_2\mathbf{A}$ tienen diferentes conjuntos de valores propios $\{3,8\}$ y $\{4,6\}$ respectivamente.
