Esta pregunta surgió durante la lectura de la página 116 del Libro Rojo por Mumford.
Deje $B$ ser un fielmente plana extensión de $A$. Puedo reclamar que $b \otimes 1 = 1 \otimes b$ $B\otimes_A B$ si y sólo si $b\in A$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted está preguntando si la secuencia de $0 \to A \to B \to B\otimes_A B$, donde el segundo mapa es dado por $b \mapsto b\otimes 1 - 1 \otimes b$, es exacta.
Puedes probar esto por tensoring con $B$ $A$ (desde $B$ es fielmente plana por $A$). Escribir $B' = B\otimes B$. A continuación, la ampliación de escalares a $B$ tenemos
$0 \to B \to B' \to B'\otimes_B B'$ (la misma secuencia, pero con $A$ reemplazado por $B$$B$$B'$). (Para comprobar esto es sólo una manipulación con tensor de productos). De nuevo, $B'$ es fielmente plana por $B$.
Se podría pensar que nada ha mejorado haciendo esto, pero se tiene: a diferencia de en la general fielmente plano contexto, tenemos una homorphism $B' \to B$ ( $b_1 \otimes b_2 \mapsto b_1 b_2$ ); geométricamente, Espec $B' \to $ Espec $B$ admite una sección.
(Esta reducción para el caso de que la fidelidad plana de morfismos admite una sección la clave es la herramienta técnica en Grothendieck plana del descenso argumentos.)
Escrito $B' = B \oplus I,$ donde $I$ es el núcleo de $B' \to B$, obtenemos que $B'\otimes_B B' = B \oplus I \oplus I \oplus I\otimes_B I$, y en términos de este isomorfismo es fácil ver que los morfismos $b' \mapsto b' \otimes 1 - 1 \otimes b'$ es inyectiva cuando se limita a $I$ (ya que para $b' \in I$ los dos términos que se encuentran en los dos distintos "$I$ sumandos" en la suma directa descripción de $B'\otimes_B B'$). Por lo tanto tu pregunta tiene una respuesta positiva en esta base ha cambiado el contexto, y por lo tanto en el contexto original.
La filosofía detrás de este tipo de argumento es que para responder este tipo de preguntas al $A \to B$ es fielmente plana, generalmente sin pérdida de generalidad a suponer, además, que los $A$ es un sumando directo de $B$ $A$- módulo.
