Dado un modelo de ZFC, ¿es correcto hablar indistintamente de cardinales y ordinales iniciales, es decir, ordinales $\alpha$ tal que para cada $\beta < \alpha$ no existe una biyección entre $\alpha$ y $\beta$ ?
En concreto, ¿podemos escribir $\omega_n = \aleph_n$ ? Esto me parece correcto, pero la literatura parece a menudo reticente a hacerlo, y prefiere abordar $\aleph_n$ como el cardinalidad de $\omega_n$ .
Si piensas en los ordinales, recordarás que éstos no son más que representantes canónicos de las clases de equivalencia de los bien ordenados bajo la relación de isomorfismo.
Los ordinales finitos y $\aleph$ Los números pueden verse como representantes canónicos de las clases de equivalencia de los conjuntos bien ordenables bajo la relación de equipotencia.
Ambos enfoques son útiles ya que nos permiten hablar de la clase de todos los ordinales, o de todos los cardinales. Si cada cardinal, u ordinal, es sólo una clase de equivalencia como la anterior, entonces serán clases propias (excepto $\varnothing$ , de todos modos) y entonces no existe la colección de todos los cardinales ni la colección de todos los ordinales.
Por supuesto que es bueno separar las dos nociones, ya que $\aleph_1+\aleph_0=\aleph_1$ como cardenales, pero $\omega_1+\omega\neq\omega_1$ como ordinales.
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