¿Cómo se debe presentar el rizo y la divergencia en una clase de cálculo multivariable de grado?

Question

Soy un TA para una clase de cálculo multivariable este semestre. También he sido tutora de este curso varias veces en el pasado. Cada vez que enseño este curso, nunca estoy seguro de cómo debo presentar el rizo y la divergencia. Este curso sigue el libro de Stewart y no utiliza formas diferenciales; sólo tratamos con campos vectoriales (en $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R}^2$ ). Sé que la div y el rizo y el gradiente no son más que la diferencial de Rham (de 2 formas, 1 formas y 0 formas respectivamente) disfrazada. Sé que cosas como curl(gradiente f) = 0 y div(curl F) = 0 son sólo reformulaciones de $d^2 = 0$ . Sin embargo, estas cosas son, comprensiblemente, bastante misteriosas para los estudiantes, especialmente la fórmula del rizo, dada por $\nabla \times \textbf{F}$ , donde $\nabla$ es el "campo vectorial" $\langle \partial_x , \partial_y , \partial_z \rangle$ . La aparición del determinante/producto cruzado siempre les parece bastante extraña. Y el determinante que tú haces es en sí mismo un poco raro, ya que su segunda fila está formada por operadores diferenciales. Los alumnos suelen pensar que los productos cruzados dan vectores normales, por lo que se les plantean preguntas como: ¿Qué significa que un campo vectorial sea perpendicular a un "campo vectorial" con componentes de operadores diferenciales? Por cierto, ¿es la aparición del "campo vectorial" $\nabla = \langle \partial_x , \partial_y , \partial_z \rangle$ ¿es sólo una especie de coincidencia, o hay alguna explicación de alto nivel para lo que realmente es?

¿Existe una forma clara (no tiene que ser necesariamente 100% rigurosa) de "explicar" la fórmula del rizo a los estudiantes de grado, en el contexto de una clase de cálculo multivariable que no utilice formas diferenciales?

En realidad, nunca llegué a resolver la fórmula del rizo en términos de un lenguaje de geometría diferencial más sofisticado. Imagino que es: tomar un campo vectorial (en $\mathbb{R}^3$ ), convertirla en una 1 forma utilizando la métrica estándar de Riemann, tomar de Rham d de ella para obtener una 2 forma, tomar la estrella de Hodge de ella utilizando la orientación estándar para obtener una 1 forma, convertirla en un campo vectorial utilizando la métrica estándar de Riemann. Imagino que la aparición del determinante/producto cruzado proviene de la estrella de Hodge. Imagino que se puede calcular la divergencia de la misma manera, y la razón por la que la fórmula de la divergencia es "simple" es porque la estrella de Hodge de 3 formas a 0 formas es simple. ¿Es correcto lo que pienso?

El libro de Stewart ofrece algunos comentarios sobre cómo dar al rizo y a la divergencia una interpretación "física" o "geométrica" o "intuitiva"; el primero da el eje alrededor del cual el campo vectorial está "girando" en cada punto, el segundo te dice cuánto está "fluyendo" el campo vectorial dentro o fuera de cada punto. ¿Hay alguna manera de utilizar este tipo de imágenes "físicas" o "geométricas" para "demostrar" o explicar curl(gradiente f) = 0 y div(curl F) = 0? ¿Hay alguna manera de explicar a los estudiantes de grado cómo las fórmulas de curl y div coinciden con la imagen "física" o "geométrica"? Aunque tal explicación es quizás menos "matemática", yo encontraría una explicación de este tipo satisfactoria para mi clase.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para mí, la explicación de la aparición de div, grad y curl en las ecuaciones físicas está en sus propiedades de invariancia.

A los estudiantes de física se les enseña (¿no es así?) el principio de Galileo de que las leyes físicas deben ser invariantes bajo cambios de coordenadas inerciales. Así que tomemos un operador diferencial de primer orden $D$ , mapeando campos de 3 vectores a campos de 3 vectores. Para que aparezca en cualquier ecuación física general, debe conmutar con traslaciones (y por tanto tener coeficientes constantes) y también con rotaciones. Sólo con considerar las rotaciones alrededor de los 3 ejes de coordenadas, se puede comprobar que $D$ es un múltiplo del rizo.

Si quiero idear un operador "físico" que tenga la misma propiedad de invariancia -y por tanto sea igual al rizo, hasta un factor- probaría con algo como "la velocidad angular media de las partículas distribuidas uniformemente en una esfera muy pequeña centrada en $\mathbf{x}$ al ser arrastrados por el campo vectorial". (¡Esto es manifiestamente invariante, pero no es manifiestamente un operador diferencial!)

[Aquí debo admitir que, habiéndolo intentado ocasionalmente, nunca he convencido a más de una fracción de una clase de cálculo de que es posible entender algo en términos de las propiedades que satisface en lugar de en términos de una fórmula. Esto no es sorprendente, quizás: no es una idea obvia, y está totalmente ausente de los libros de texto estándar].

Answer 2

En cuanto a la explicación de las fórmulas de div y curl, deberías poder hacerlo a partir de las definiciones dadas en el Wikpedia artículos tomando las integrales correspondientes en rectángulos y cajas. Estas definiciones tienen un significado físico bastante claro, al menos si tus alumnos se sienten cómodos con las integrales de línea y de superficie.

En cuanto a la explicación de d^2 = 0: curl(grad f) = 0 porque la integral de línea de un gradiente sobre círculos pequeños es cero, por lo que los gradientes no pueden rizarse. (En otras palabras, si un campo vectorial tiene un rizo distinto de cero en algún p, no podrías definir un potencial consistente sobre algún contorno cerrado pequeño alrededor de p). Y div(curl F) = 0 porque la integral de superficie de un curl sobre esferas pequeñas es cero, por lo que los curls no pueden divergir (es decir, fluir). Estas interpretaciones se utilizan todo el tiempo en las aplicaciones del teorema de Stokes a la física.

Answer 3

Esta es quizás una explicación burda (y ciertamente no rigurosa), pero es siempre como he pensado en motivarla.

Dejemos que $F = (F_1, F_2, F_3)$ denota un campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ y escribir $\text{curl}\ F = (G_1, G_2, G_3)$ . Nos gustaría una situación en la que $G_1$ describe la rotación "instantánea" de $F$ sobre el $x$ -eje, $G_2$ la rotación sobre el $y$ -eje, y $G_3$ la rotación sobre el $z$ -eje.

Así que pensemos en los campos vectoriales que hacen precisamente eso. Tres sencillos (¡lineales!) que nos vienen a la mente son $$H_1(x,y,z) = (0, -z, y)$$ $$H_2(x,y,z) = (z, 0, -x)$$ $$H_3(x,y,z) = (-y, x, 0)$$ Así que para medir cuánto $F$ gira sobre, por ejemplo, el $z$ -eje, tiene sentido mirar algo que compara lo similar $F$ es $H_3$ . El producto punto $F(x,y,z) \cdot H_3(x,y,z)$ parece razonable, que es precisamente $-yF_1(x,y,z) + xF_2(x,y,z).$

Esto sugiere que la definición de $$G_1(x,y,z) \approx -zF_2(x,y,z) + yF_3(x,y,z)$$ $$G_2(x,y,z) \approx zF_1(x,y,z) - xF_3(x,y,z)$$ $$G_3(x,y,z) \approx -yF_1(x,y,z) + xF_2(x,y,z)$$ podría dar algo parecido a lo que queremos. Pero ésta es una forma muy burda de medir la rotación "instantánea"; de hecho, se podría decir que es una especie de aproximación lineal. Así, nos vemos abocados a sustituir los términos lineales por sus correspondientes derivaciones: $$G_1(x,y,z) = -\frac{\partial}{\partial z}F_2 + \frac{\partial}{\partial y}F_3$$ $$G_2(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z}F_1 - \frac{\partial}{\partial x}F_3$$ $$G_3(x,y,z) = -\frac{\partial}{\partial y}F_1 + \frac{\partial}{\partial x}F_2,$$ que es precisamente el rizo.

Esta heurística también funciona con la divergencia, pero en lugar de ello considera $(H_1, H_2, H_3) = (x,y,z)$ .

Answer 4

He enseñado cálculo multivariable exactamente una vez, a estudiantes de ingeniería en la Universidad Concordia de Montreal. Encontré que el curso estaba repleto de retos expositivos como el que mencionas: a saber, explicar lo que ocurre con los diversos conceptos del análisis vectorial en algo parecido a términos geométricos, pero por supuesto sin introducir nada parecido a formas diferenciales. [A la inversa, es posible conocer el Teorema de Stokes en la forma $\int_{\partial M} \omega = \int_M d \omega$ y seguir sin entender el flujo, la divergencia y otras nociones geométricas y físicas de este tipo. Yo mismo pasé unos 10 años en esta posición].

Pensé mucho y a menudo encontré explicaciones mucho más satisfactorias que el libro de texto, que era asombrosamente lacónico. O mejor dicho, encontré explicaciones que eran mucho más satisfactorias a mí . Los alumnos tenían muchos problemas para conceptualizar el material, hasta el punto de que mis clases habrían tenido casi con toda seguridad más éxito si no hubiera intentado dar explicaciones geométricas e intuiciones, sino que me hubiera concentrado simplemente en los problemas. Por lo tanto, el comentario de Gerald Edgar me parece acertado. Pero permítanme que parta de la premisa más feliz de querer motivar más al alumno brillante que se acerca a ustedes fuera de clase.

Una cosa que me resultó útil fue leer las "explicaciones físicas" que a veces daba el libro y tratar de darles algún tipo de sentido matemático. Para contextualizar, debo decir que nunca he tomado clases de física a nivel universitario y que rara vez, o nunca, he conocido a un matemático que tenga menos conocimientos de física que yo. Además, cuando yo mismo tomé clases de introducción al cálculo multivariable (alrededor de los 17 años), encontré que las explicaciones físicas eran tan vagas y estaban tan alejadas de las matemáticas que resultaban risibles. Por ejemplo, la intuición geométrica de un rizo implicaba una historia sobre una rueda de paletas.

Así que cuando impartí la clase, intenté dar algún sentido matemático a los nombres "incompresible" (divergencia cero) e "irrotacional" (curvatura cero), y para mi sorpresa y deleite descubrí que en realidad era bastante sencillo una vez que me paraba a pensar en ello.

Permítanme también hablarles de mi única "innovación" en el curso (estoy seguro de que será un lugar común para muchos de los matemáticos aquí presentes). Parece extraño que haya dos versiones del teorema de Stokes en el espacio tridimensional (una de ellas se llama teorema de Stokes y la otra teorema de Gauss o --¡mejor! -- el Teorema de la Divergencia) mientras que en el plano sólo existe el Teorema de Green. El Teorema de Stokes trata del rizo, mientras que el de Gauss trata de la divergencia. ¿Y el Teorema de Green?

La respuesta es que el teorema de Green tiene una versión para la divergencia -es decir, una versión de flujo que implica integrales de línea normal- y una versión para el rizo -una versión de circulación que implica integrales de línea tangente-, pero estas dos versiones son formalmente equivalentes. De hecho, se pasa de una a otra aplicando los operadores de "giro" L y R: L aplicado a un campo vectorial plano gira cada vector 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj, y R es el operador inverso. Entonces (con la convención de que el rizo de un campo vectorial plano debe apuntar siempre en la dirección vertical, para que podamos hacer una función escalar con él)

curl(L(F)) = div(F)

y haciendo esta sustitución formal se pasa de una versión del Teorema de Green a la otra.

Ver

http://math.uga.edu/~pete/handoutfive.pdf

http://math.uga.edu/~pete/handouteight.pdf

http://math.uga.edu/~pete/reviewnotes.pdf

Answer 5

Según (*) sobre el grado de analiticidad subyacente (**) en su curso de cálculo, podría ser también iniciar con el teorema de Stokes, enunciándolo como un teorema de existencia y unicidad:

Teorema (Stokes) Dado un campo vectorial continuamente diferenciable $X$ en una región $U$ de $\mathbb{R}^3$ existe un único campo vectorial continuo $\operatorname{curl} X$ tal que para cualquier superficie regularmente parametrizada $(u,v):D^2\rightarrow U$ con campo normal $\hat{\mathbf{n}}$ y el campo tangente límite $\mathbf{s}$ las integrales $$\iint (\operatorname{curl} X)\cdot \hat{\mathbf{n}} dA $$ y $$ \oint X \cdot \mathbf{s}\ dt $$ son iguales

A partir de ahí se puede proceder deduciendo propiedades de $\operatorname{curl} X$ suficiente para dar su fórmula en coordenadas y al mismo tiempo demostrar el teorema.

Obsérvese, por ejemplo, que incluso enunciado sólo como teorema de existencia, ya dice que hay un criterio local suficiente para la integrabilidad local de un campo vectorial; la fórmula real del rizo te dice entonces cuál es el criterio.

Este estilo de enfoque también le da una prueba rápida de que $\operatorname{div}\operatorname{curl}(X)=0$ porque una esfera puede ser parametrizada regularmente por un disco tal que $\mathbf{s} \equiv 0$ .

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(*) Aquí quiero decir, a grandes rasgos, que si les muestras suficientes variaciones del teorema del valor medio para demostrar que las derivadas iteradas conmutan cuando son continuas, entonces debería ser factible dar esta construcción con un rigor comparable.

(**) ninguna de estas palabras se utiliza aquí con un sentido matemático estándar.