Cómo resolver las ecuaciones características $\frac{dx_1}{x_1} = \frac{dx_2}{x_2} = \frac{dV}{2V}$ ?

Question

Cómo resolver lo siguiente $$\frac{dx_1}{x_1} = \frac{dx_2}{x_2} = \frac{dV}{2V},$$ donde $V = V(x_1,x_2)$ .

Mi esfuerzo es que tomo $$\int dx_1/x_1 = \int dV/2V + C \, \Rightarrow \, V = C_1(x_2) x_1^2$$ y $$\int dx_2/x_2 = \int dV/2V + D \, \Rightarrow \, V = D_1(x_1) x_2^2.$$

Dado que son los mismos $V$ obtenemos $$C_1(x_2)x_1^2=D_1(x_1)x_2^2 \, \Rightarrow \, C_1(x_2) = (\frac{x_2}{x_1})^2D_1(x_1).$$ Así que obtenemos $$V(x_1,x_2) = (\frac{x_2}{x_1})^2D_1(x_1) x_1^2$$

¿Estoy en el camino correcto?

Gracias.

Answer 1

Probablemente quieras resolver la EDP : $$x_1\frac{\partial V}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial V}{\partial x_2}=2V,$$ y escribiste correctamente el sistema Charpit-Lagrange de EDOs características : $$\frac{dx_1}{x_1} = \frac{dx_2}{x_2} = \frac{dV}{2V}.$$ Una primera ecuación característica proviene de $\frac{dx_1}{x_1} = \frac{dV}{2V}$ .

Usted obtiene correctamente : $V=C_1x_1^2$ .

$C_1$ es un parámetro arbitrario que establece una curva característica particular en la que : $$\frac{V(x_1,x_2)}{x_1^2}=C_1$$

Una segunda ecuación característica proviene de $\frac{dx_1}{x_1} = \frac{dx_2}{x_2}$ que conduce a :
$$\frac{x_2}{x_1}=C_2$$ De nuevo $C_2$ es un parámetro arbitrario al que corresponde una curva característica para cada valor del parámetro.

La solución general de la EDP (véase la referencia añadida al final) se expresa en forma de ecuación implícita es : $$\Phi(C_1,C_2)=0$$ donde $\Phi$ es una función arbitraria de dos variables. O de forma equivalente $$C_1=F(C_2)\quad\text{or}\quad C_2=G(C_1)$$ donde $F$ y $G$ son funciones arbitrarias.

$$C_1=F(C_2)=\frac{V}{x_1^2}=F\left( \frac{x_2}{x_1}\right)$$ $$\boxed{V(x_1,x_2)=x_1^2\:F\left( \frac{x_2}{x_1}\right)}$$ Si se especifican correctamente algunas condiciones de contorno, la función $F$ se puede determinar.

NOTA:

También se puede considerar $\frac{dx_2}{x_2} = \frac{dV}{2V}$ en lugar de $\frac{dx_1}{x_1} = \frac{dV}{2V}$ . Esto lleva a

$V(x_1,x_2)=x_2^2\:H\left( \frac{x_2}{x_1}\right)$ donde $H$ es una función arbitraria relacionada con la función anterior $F$ :

$F\left( \frac{x_2}{x_1}\right)=\left( \frac{x_2}{x_1}\right)^2H\left( \frac{x_2}{x_1}\right)$ . Dado que ambos $F$ y $H$ son funciones arbitrarias, el resultado es el mismo que el anterior.

REFERENCIA: Copia de https://www.math.ualberta.ca/~xinweiyu/436.A1.12f/PDE_Meth_Characteristics.pdf

Los símbolos no son los mismos que los utilizados en mi respuesta anterior. Tenga cuidado con la posible confusión.