Supongamos que tengo una distribución gaussiana univariante con media $\mu_X$ y la desviación estándar $\sigma_X$ y conozco la variable aleatoria $X$ es al menos un valor positivo $y$ : $X \geq y$ . ¿Cuál es la expectativa condicional $\mathbb{E}[X | X \geq y]$ de $X$ dado $X \geq y$ ? ¿Existe una expresión de forma cerrada para esto?
Respuesta
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Supongamos que se refiere a $X\sim\mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X)$ y que $y$ es una constante elegida independientemente de la observación $X$ . Reduzca el problema a encontrar la expectativa condicional de $Z = X-y$ con la condición de $Z \ge 0$ : añadir $y$ a ese valor da la respuesta deseada. (Si $y$ es positivo es irrelevante).
La propiedad que rige la probabilidad condicional es la relación multiplicativa
$$\Pr(Z\in\mathcal{A}\,|\,Z \ge 0)\Pr(Z \ge 0) = \Pr(Z\in\mathcal{A\cap[0,\infty)})$$
para todos los conjuntos medibles $\mathcal{A}$ . En particular, dejar que $\mathcal{A}=(z,\infty)$ para algunos $z\ge 0$ , resuelve la probabilidad condicional:
$$\Pr(Z \gt z\,|\,Z \ge 0) = \frac{\Pr(Z \gt z)}{\Pr(Z \ge 0)}.$$
El lado izquierdo es el condicional función de supervivencia mientras que el numerador y el denominador de la derecha están ambos en términos de la función de supervivencia de $Z$ mismo. Escriba $\Phi(z; \mu, \sigma)$ para la función de distribución Normal con media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ . Su complemento $1-\Phi$ es la función de supervivencia. Como $Z$ obviamente es Normal con media $\mu_X-y$ y la desviación estándar $\sigma_X$ la función de supervivencia de la parte positiva de $Z$ , $Z^{+}$ es
$$S_{Z^{+}}(z) = \frac{1-\Phi(z; \mu_X-y, \sigma_X)}{1 - \Phi(0; \mu_X-y, \sigma_X)}$$
para $z \ge 0$ . Su integral da la expectativa condicional. Volver a añadir $y$ para dar la respuesta
$$y + \frac{1}{1 - \Phi(0; \mu_X-y, \sigma_X)}\int_0^\infty \left(1 - \Phi(z; \mu_X-y, \sigma_X)\right)dz.$$
Como la integral de un función de error complementario No tiene una expresión más sencilla en general.
