Dejemos que $\Gamma$ sea un grupo contable (discreto) y que $\varphi:\Gamma\times\Gamma\to\mathbb{C}$ sea un multiplicador de Schur (no equivariante). Véase el capítulo 5 de [2] para más detalles. Supongamos que, para todo $t\in\Gamma$ la función \begin{align*} s\longmapsto\varphi(st,s) \end{align*} es débilmente casi periódica. Sea $m$ sea la única media invariante en WAP $(\Gamma)$ ; véase la sección 3 de [1].
Pregunta: ¿Es cierto que la función $\psi:\Gamma\to\mathbb{C}$ dado por \begin{align*} \psi(t)=m(s\mapsto\varphi(st,s)) \end{align*} es un multiplicador de Herz-Schur en $\Gamma$ ? ¿Podemos estimar la norma de $\psi$ en términos de la norma de $\varphi$ ?
Primer intento ingenuo: Por el teorema 5.1 de [2], existe un espacio de Hilbert $H$ y funciones acotadas $\xi, \eta:\Gamma\to H$ tal que \begin{align*} \varphi(t,s)=\langle\xi(s),\eta(t)\rangle,\quad\forall s,t\in\Gamma. \end{align*} Esto nos permite escribir \begin{align*} \psi(s^{-1}t)=m\left(r\mapsto\langle\xi(rs),\eta(rt)\rangle\right),\quad\forall s,t\in\Gamma, \end{align*} pero no sé si esto se puede expresar como un producto escalar en un espacio de Hilbert adecuado.
[1] Uffe Haagerup, Søren Knudby y Tim de Laat. A complete characterization of connected Lie groups with the approximation property. Ann. Sci. Éc. Norm. Supérate. (4), 49(4):927-946, 2016.
[2] Gilles Pisier. Similarity problems and completely bounded maps, volumen 1618 de Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, edición ampliada, 2001. Incluye la solución al "Problema de Halmos".
