Ejemplo de anillo noetheriano cuyo espectro es noetheriano e infinito

Question

Un espacio topológico es noetheriano si satisface la condición de cadena descendente para sus subconjuntos cerrados. Sea $R$ un anillo conmutativo y que $\mathrm{Spec}(R)$ su espectro con la topología de Zariski.

Ya conozco algunos ejemplos de anillos noetherianos cuyo espectro es noetheriano, pero en todos estos casos el espectro es noetheriano por ser finito.

¿Puede alguien darme un ejemplo de un anillo noetheriano cuyo espectro sea noetheriano y con infinitos puntos?

Gracias.

Answer 1

Teorema: Si Spec $(R)$ es noetheriano, entonces también lo es Spec $(R[X])$ . [Teorema 2.5 en ``Anillos con espectro noetheriano'' de Ohm y Pendleton]

Así que para el ejemplo, tome $R[X]$ , donde $R$ es cualquier anillo noetheriano con espectro noetheriano.

Answer 2

Anillo conmutativo sin unidad.

Dejemos que $\mathbb{K}$ sea un campo, y que $R=\mathbb{K}[x_n\mid n\in\mathbb{N}]_{\displaystyle/(x_n\mid n\in\mathbb{N})^2}$ Sabemos que $R$ no es un anillo noetheriano sino $\operatorname{Spec}(R)=\{(x_n\mid n\in\mathbb{N})\}$ es un espacio topológico noetheriano.

Dejemos que $S=\bigoplus_{k\in\mathbb{N}}R$ entonces $\operatorname{Spec}(S)=\coprod_{k\in\mathbb{N}}\operatorname{Spec}(R)$ donde la topología de Zariski es la topología cofinita: $S$ no es un anillo noetheriano sino $\operatorname{Spec}(S)$ es un espacio topológico noetheriano con infinitos puntos.

Anillo conmutativo con unidad.

Dejemos que \begin{equation} R=\{f\in\mathbb{Q}[t]\mid f(\mathbb{Z})\subseteq\mathbb{Z}\} \end{equation} el anillo de polinomio numérico (sobre $\mathbb{Q}$ ) ; definida: \begin{gather*} f_0=1,\,\forall n\in\mathbb{N}_{\geq1}\equiv\mathbb{N}_1,f_n=\frac{1}{n!}t(t-1)\dots(t-n+1), \end{gather*} fácilmente se puede demostrar que $f_n\in R$ para cualquier $n\in\mathbb{N}_0$ .

Dejemos que \begin{equation*} \forall p\in\mathbb{P}_{\geq2},\,I_p=(f_1,\dots,f_{p-1}); \end{equation*} por definición $f_p\notin I_p$ entonces $\{I_p\subset R\}_{p\in\mathbb{P}_{\geq2}}$ es una cadena ascendente no estacionaria de ideales en $R$ En otras palabras $R$ no es un anillo noetheriano.

Dejemos que $\mathbb{Z}[t]\stackrel{i}{\hookrightarrow}R$ las inclusiones canónicas, entonces se puede considerar el mapa continuo canónico $\operatorname{Spec}(R)\stackrel{i^{*}}{\to}\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[t])$ . $\operatorname{Spec}(R)$ tiene un número finito de puntos; porque cualquier ideal primo de $\mathbb{Z}[t]$ de la forma $(t-m)$ puede extenderse a un ideal primo de $R$ (vía $i$ ). Por la proposición V.2.7.(iii) de Cahen, Chabert - Polinomios de valores enteros se puede afirmar que $\dim_{Krull}R=2$ y por lo tanto $\operatorname{Spec}(R)$ es noetheriano.

¿Está todo claro?