Espacios métricos como categorías completas de Cauchy, entrada en el nlab, visión de algunas de las construcciones.

Question

Estoy teniendo un poco de problemas para dar sentido a algunos de los conceptos de la sección "Espacio métrico" en la entrada de nlab sobre "Categoría completa de Cauchy" ( http://ncatlab.org/nlab/show/Cauchy+completa+categoría#espacios_métricos ), estaba siguiendo más o menos lo que decían hasta que llegué a esto:

$p(x)$ debe considerarse como la distancia $d_{\overline{X}}(x,p)$ entre $x$ y el "punto ideal" $p$ en la terminación de Cauchy...

Así que $p$ es un punto en la terminación y una función de distancia? Creo que no te entiendo.

Además, la distancia entre dos puntos en la terminación de Cauchy viene dada por la " fórmula habitual fórmula para presheaves enriquecidos ":

$d(p,p') = \int_{x \in X} hom_{[0, \infty]}(p(x),p'(x))$ = supmax $_{x \in X}$ $\{0, p'(x)- p(x) \}$

¿De dónde salió esa fórmula? Dejé de leer allí mismo, se agradecería cualquier idea.

Answer 1

En cuanto a la primera pregunta: sí, los puntos de la terminación de Cauchy pueden identificarse con sus funciones de distancia. Los puntos de cualquier espacio métrico (que satisface la condición $d(x,y)=0 \implies x=y$ ) pueden identificarse con sus funciones de distancia -- esto es sólo un hecho obvio para los espacios métricos; en la teoría de categorías enriquecidas corresponde al lema de Yoneda.

En cuanto a la segunda pregunta: el Finalizar $\int_{x \in X} hom(p(x),p'(x))$ es la expresión habitual para el homo-objeto entre dos preámbulos enriquecidos. Por ejemplo, si se resuelve lo que significa en $\mathsf{Set}$ Verás que es el conjunto de las transformaciones naturales entre los presheaves. En esta configuración, el extremo se convierte en un sup, y el hom interno se convierte en la diferencia no negativa.