¿Cómo encontrar el límite, sin la regla de L'Hôpital, de una función con exponenciales?

Question

He indagado un poco y no encuentro ningún post que trate sobre límites con exponenciales y sin La regla de L'Hôpital.

Tengo una de estas preguntas para mi tarea, pero por razones éticas me he inventado una función similar:

Encuentra el siguiente límite sin la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x\to0}\frac{2^x-7^x}{2x}$$

Answer 1

$$ \lim_{x\to 0}\frac{2^x-7^x}{2x} = \frac12\lim_{x\to 0}\frac{2^x-7^x-0}{x-0}$$ y el segundo límite es por definición la derivada de $x\mapsto 2^x-7^x$ en $x=0$ . Diferencia esta función simbólicamente y ya está.

Answer 2

Considere $$ \frac{2^x-7^x}{2x}=\frac{1}{2}\frac{2^x-1+1-7^x}{x}= \frac{1}{2}\left(\frac{2^x-1}{x}-\frac{7^x-1}{x}\right) $$ Esto lo sugiere el hecho de que debemos saber encontrar la derivada de $f(x)=a^x$ por lo que sólo tenemos que calcular el límite de la fracción interior (que debe existir, para poder dividir la suma). Así que se puede reescribir el límite como $$ \frac{1}{2}\left(\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{7^x-1}{x}\right) $$ Ahora $$ \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{x\log a}-1}{x}\overset{(*)}{=} \lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t/\log a}=\log a $$ (log significa "logaritmo natural"). En la igualdad marcada con $(*)$ la sustitución $t=x\log a$ se utiliza. Por último, el límite básico $$ \lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1 $$ permite concluir.

Answer 3

Puedes transformarlas en la serie de MacLaurins f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f"(0)x 2 /2!+...

así que $2^x=1+xln2+x^2ln^22/2+...$ y $7^x=1+xln7+x^2ln^27/2+...$

tienes lim igual a (ln2-ln7+o(x))/2

(ln significa "logaritmo natural").