Algunos antecedentes y notación
Dejemos que $Sh_{\infty}(Cartsp)$ sea la categoría infinita de las láminas simpliciales suaves en el sitio de los espacios cartesianos (subconjuntos abiertos convexos de $\mathbb{R}^n$ y mapas suaves entre ellos), dotados de la topología de las buenas coberturas abiertas (intersecciones finitas contractibles).
Este topos del infinito es cohesivo y en particular el functor ${\rm disc}:\infty-\mathscr{G}{\rm rpd}\to Sh_{\infty}(Cartsp)$ admite un $\infty$ adjunto izquierdo $\Pi$ que preserva los productos finitos. Este es el functor que llamo realización geométrica.
Pregunta
Permítanme denotar la gavilla simplicial de mapeo interno, proveniente de la estructura cartesiana cerrada sobre $Sh_{\infty}(Cartsp)$ , por $[M,X]$ . Dada una variedad lisa y compacta $M$ y una gavilla simplicial lisa $X$ Me gustaría comparar la realización geométrica de $[M,X]$ y el espacio de mapeo de las realizaciones geométricas de $M$ y $X$ respectivamente. Lo ideal sería esperar una equivalencia $$\Pi[M,X]\simeq Map(\Pi(M),\Pi(X))\;.$$ ¿Es esto cierto? No he sido capaz de dar un contraejemplo y sé que esto es cierto si uno toma gavillas con valores en un estable categoría infinita (allí se puede utilizar el hecho de que los colímites arbitrarios conmutan con los límites finitos junto con el descenso con respecto a una cubierta finita de $M$ ). Cualquier ayuda en este sentido será muy apreciada.
