variación de los parámetros (constantes)

Question

Estoy atascado con dos problemas que tienen como objetivo introducir en breve el método de variación de parámetros para resolver una ecuación diferencial. Los problemas son:

$x\cdot y(x)'+y(x)=x^2;\ y(1)=1$

y

$u'(t)+\frac{u}{1+t}=exp(2t);\ u(0)=4.$

He intentado comprender el método, pero aún no he llegado a ninguna parte. ¿Puede alguien ayudarme a empezar?

-Marie :)

Answer 1

Para la primera, observe que el lado izquierdo puede ser "factorizado" como $(xy)'$ ya que es sólo el resultado de la regla del producto básico. ¿Se puede integrar con un $+C$ ¿Y resolverlo a partir de ahí? Para la segunda, siguiendo con el método de variación de parámetros: ¿por qué habría que multiplicar ambos lados de la ecuación para que los factores de la izquierda vuelvan a ser una derivada de un producto? Simbólicamente, eso significa que $q(t)u'+\frac{q(t)}{1+t}u$ (después de multiplicar por $q$ ) factores para $\big(p(t)u\big)'$ para algunos $p$ y $q$ . Amplía esta última con la regla de la cadena y mira si puedes progresar desde ahí.