Tomando la derivada de $x^4\sin(x)\cos(x)$ ¿Qué paso está mal?

Question

Estoy tratando de tomar el derivado de $x^4\sin(x)\cos(x)$ y sigo recibiendo la respuesta equivocada.

Mis pasos: $$\frac {d}{dx}[x^4\sin(x)\cos(x)]$$ Aplicar la regla del producto: $$\frac {d}{dx}[x^4](\sin(x)\cos(x)+x^4\frac {d}{dx}[\sin(x)\cos(x)]$$ Simplificar la primera parte: $$4x^3\sin(x)\cos(x)+x^4\frac {d}{dx}[\sin(x)\cos(x)]$$ Aplicar la regla del producto a la segunda parte: $$\cos(x)\cos(x)+(-\sin(x))$$ Agrégalos todos juntos: $$4x^3\sin(x)\cos(x)+x^4\cos^2(x)-\sin(x)$$

Así que algo está mal ya que la respuesta correcta es $$-x^4\sin^2(x)+x^4\cos^2(x)+4x^3\cos(x)\sin(x)$$

Tengo el mayor dolor de cabeza por esto, ¡realmente apreciaría la ayuda! Gracias.

Answer 1

$$\dfrac{d}{dx}(x^4\cdot \sin(x)\cdot cos(x))$$

Dejemos que $u = x^4$ y $v = \sin(x) \cdot \cos(x)$ . A partir de la conocida fórmula sabemos que

$$ \begin{align} \dfrac{d}{dx}(u \cdot v) & = u \dfrac{dv}{dx} + v \dfrac{du}{dx} \\ & = x^4 \dfrac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \cos(x)) + \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot \dfrac{d}{dx}(x^4) \\ & = x^4 \dfrac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \cos(x)) + 4 \cdot x^3 \sin(x) \cdot \cos(x) \end{align} $$

Expresión simplificada pero todavía tenemos que resolver $\dfrac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \cos(x))$

dejar $u = \sin(x)$ y $v = cos(x)$

$$ \begin{align} \dfrac{d}{dx}(u \cdot v) & = u \dfrac{dv}{dx} + v \dfrac{du}{dx} \\ & = \sin(x) \dfrac{d}{dx}(\cos(x)) + \cos(x) \cdot \cos(x) \cdot \dfrac{d}{dx}(\sin(x)) \\ & = \sin(x) \cdot(- \sin(x)) + cos(x) \cdot \cos(x) \\ & = (\cos(x))^2 - (\sin(x))^2 \end{align} $$

Todo lo que necesitamos es sustituir esto de vuelta.

$$ \begin{align} \dfrac{d}{dx}(x^4\cdot \sin(x)\cdot cos(x)) & = x^4 \dfrac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \cos(x)) + 4 \cdot x^3 \sin(x) \cdot \\ & = x^4 ((\cos(x))^2 - (\sin(x))^2) + 4 \cdot x^3 \sin(x) \end{align} $$

Answer 2

Ampliando otras respuestas aquí $$\dfrac{d}{dx}(u \cdot v \cdot w)$$

donde $u$ , $v$ y $w$ son funciones de $x$

$$ \begin{align} \dfrac{d}{dx}(u \cdot v \cdot w) & = u \cdot \dfrac{d}{dx}(v \cdot w) + v \cdot w \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = u \cdot \left( v \cdot \dfrac{dw}{dx} + w \cdot \dfrac{dv}{dx}\right) + v \cdot w \cdot \dfrac{du}{dx}\\ & = u \cdot v \cdot \dfrac{dw}{dx} + v \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + \dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w\\ & = u \cdot v \cdot w' + u \cdot v' \cdot w + u' \cdot v \cdot w = (u \cdot v \cdot w)' \end{align} $$

No estoy reclamando esto como mío, pero pensé que una derivación ayudaría a otros (incluyéndome a mí) a ver de dónde viene esto.