Tomando la derivada de $x^4\sin(x)\cos(x)$ ¿Qué paso está mal?

Question

Estoy tratando de tomar el derivado de $x^4\sin(x)\cos(x)$ y sigo recibiendo la respuesta equivocada.

Mis pasos: $$\frac {d}{dx}[x^4\sin(x)\cos(x)]$$ Aplicar la regla del producto: $$\frac {d}{dx}[x^4](\sin(x)\cos(x)+x^4\frac {d}{dx}[\sin(x)\cos(x)]$$ Simplificar la primera parte: $$4x^3\sin(x)\cos(x)+x^4\frac {d}{dx}[\sin(x)\cos(x)]$$ Aplicar la regla del producto a la segunda parte: $$\cos(x)\cos(x)+(-\sin(x))$$ Agrégalos todos juntos: $$4x^3\sin(x)\cos(x)+x^4\cos^2(x)-\sin(x)$$

Así que algo está mal ya que la respuesta correcta es $$-x^4\sin^2(x)+x^4\cos^2(x)+4x^3\cos(x)\sin(x)$$

Tengo el mayor dolor de cabeza por esto, ¡realmente apreciaría la ayuda! Gracias.

Answer 1

Hay dos pequeños errores:

• Un término que falta en la regla del producto: $$ \frac{d}{dx} \left(\sin(x) \cos(x) \right)=\cos(x) \cos(x)-\sin(x) \color{green}{ \sin(x)}$$
• La distribución de $x^4$ : $$x^4( \cos(x)^2-\sin(x)^2)=x^4 \cos(x)^2- \color{green}{x^4} \sin(x)^2$$

Answer 2

Pista: obtenemos $$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$$ Para su Control: El resultado viene dado por $$-x^4 \sin ^2(x)+x^4 \cos ^2(x)+4 x^3 \sin (x) \cos (x)$$

Answer 3

Considere la posibilidad de simplificar antes de diferenciar

$$\sin x \cos x=\frac{1}{2} \sin{2x}$$

Ahora todo lo que hay que diferenciar es

$$x^4 \cdot \frac{1}{2} \sin{2x} $$

Answer 4

Te olvidaste de un $\sin(x) $ al calcular la derivada de $\sin(x)\cos(x)$

En general $\frac{d}{dx}[u\cdot v\cdot w] = u'\cdot v \cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'$

$\frac{d}{dx}[x^4\sin(x)\cos(x)] =4x^3\sin(x)\cos(x)+x^4\cos^2(x)-x^4\sin^2(x) $

Answer 5

Esta línea no es correcta $$\cos(x)\cos(x)+(-\sin(x))$$

Es mejor usar

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ antes de diferenciar

$$\frac {d}{dx}[x^4\sin(x)\cos(x)]=\frac 12\frac {d}{dx}[x^4\sin(2x)]=2x^3\sin(2x)+x^4\cos(2x)$$