Si $X$ es una métrica, entonces $X$ es compacto si y sólo si $X$ es secuencialmente compacta - uso del axioma de elección

Question

Voy a hacer una demostración del teorema:

Si $X$ es una métrica, entonces X es compacto si y sólo si X es secuencialmente compacto.

Ya he publicado esto aquí . Sin embargo, esta vez estoy viendo lo contrario. La prueba hasta ahora es esta:

Demostramos la contraposición. Supongamos que $X$ no es compacto. Entonces queremos demostrar que $X$ no es secuencialmente compacto.

Desde $X$ no es compacto, $\exists \mathcal{A}$ una cubierta abierta sin subcubierta finita. Así que necesitamos construir una secuencia tal que ninguna subsecuencia converja. Así que para todo $x \in X$ , $\exists s \in (0,1], A \in \mathcal{A}$ tal que $B(x, s) \subset A$ . Así que para todos $x \in X$ , $\exists A \in \mathcal{A}$ tal que $B(x, s(x)) \subset A$ .

Se ha hecho una observación particular: " $s$ El radio de la bola existe por el axioma de elección". No he trabajado con el axioma de elección explícitamente, así que no entiendo por qué se requiere aquí. Se agradece cualquier aclaración al respecto.

Answer 1

Tienes razón en que no necesitas el axioma de la elección allí . Es decir, siempre se puede recurrir a radios de la forma $\frac1n$ o simplemente enumerar los racionales y trabajar con esa enumeración para elegir radios uniformes usando esa enumeración.

El axioma de elección es necesario cuando se quiere elegir la secuencia real sin una subsecuencia convergente.

Consideremos el contraejemplo canónico de un espacio métrico que no es compacto, pero que es secuencialmente compacto. Se trata de un modelo de $\sf ZF$ en el que hay $D\subseteq\Bbb R$ que es infinito, pero no tiene ningún subconjunto contablemente infinito. También podemos suponer que $D$ es ilimitado (si no, limítese al intervalo $(\inf D,\sup D)$ en su lugar).

No es difícil comprobar que $D$ es secuencialmente compacto, si $x_n$ es una secuencia de $D$ entonces tiene que tener al menos un elemento que aparezca infinitamente a menudo (de lo contrario podemos construir una inyección de $\Bbb N$ en $D$ ), por lo que existe una subsecuencia convergente. Pero $D$ no es compacto, porque los conjuntos compactos siguen siendo cerrados en $\Bbb R$ y los conjuntos cerrados infinitos tienen subconjuntos contablemente infinitos.

Así que para presenciar la incompetencia de $D$ considerar la tapa abierta $\{(-\infty,q)\cap D\mid q\in\Bbb Q\}$ . Ahora cada $d\in D$ tiene algún radio racional, $q_d$ tal que $B(d,q_d)\cap D$ es un subconjunto de algún $(-\infty,q)$ . Incluso podemos asignar a cada $d\in D$ lo menos $q$ tal que $(-\infty,q)\cap D$ . Y lo ideal ahora sería elegir una secuencia de puntos lo suficientemente espaciada como para no tener una subsecuencia convergente, pero no podemos. Aquí es exactamente donde apelamos al axioma de elección.