¿Son estas condiciones necesarias, suficientes para la convergencia de un producto infinito?

Question

Para el producto infinito $\prod_{k=1}^\infty z_k$ para converger, es necesario que para cada $\varepsilon > 0$ a $N$ existe tal que para cada $k > N$ y para cada número entero $r \geq 1$ : $$|z_{k+1}z_{k+2}\cdots z_{k+r} - 1| < \varepsilon$$

¿Es una condición suficiente? Si la respuesta es "NO", ¿cómo puedo cambiar la condición para que sea suficiente?

Answer 1

Para que un producto infinito converja, primero se toma su logaritmo (o logaritmo de cualquier base, pero el logaritmo es estándar) y por las identidades del logaritmo se convertirá el producto en una suma infinita, si esta suma converge, también lo hace el producto.

PD: No estoy siendo técnico aquí, necesitaría probar este hecho si es así, pero creo que la intuición es más importante.