Una matriz está dada en forma escalonada

Question

Es la primera vez que publico una pregunta y estoy muy atascado en esta. Se agradecería la ayuda. Me han dado esta matriz

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&3&0&9\\0&1&\lambda+6&4\\ 0&0&\lambda^2-5\lambda+6&9-3\lambda \end{array}\right], $$

y necesito encontrar para que esta matriz tiene

• una solución
• no hay soluciones
• soluciones infinitas

Answer 1

Hay algunas condiciones relacionadas con los pivotes que le ayudarán a decidir estos tres casos. Las condiciones son:

1. No hay solución: Un pivote en la columna constante. Dado que las dos primeras filas tienen pivotes, dicho pivote debe producirse en la tercera fila. Por lo tanto, la entrada constante de la tercera fila debe ser distinta de cero y ésta es la entrada principal de la fila. En otras palabras, $\lambda^2-5\lambda+6=0$ y $9-3\lambda\not=0$ .

2. Una solución única: No hay pivotes en la columna constante y cada variable es una variable pivote. Las dos primeras variables son variables pivote, para que la tercera variable sea una variable pivote, necesitas que la entrada principal de la tercera fila esté en la tercera columna. En otras palabras, $\lambda^2-5\lambda+6\not=0$

3. Infinitas soluciones: No hay pivotes en la columna constante y hay una variable libre. Dado que las dos primeras variables son variables pivote, la tercera variable es la única que puede ser libre. Para ser libre, necesita que la entrada principal de la tercera fila no esté en la tercera columna. Una vez que haya hecho esa elección, puede preocuparse de que haya un pivote en la columna constante. Tendrás que asegurarte de que el $\lambda$ que eliges no da un pivote en la columna constante de la tercera fila. En otras palabras, $\lambda^2-5\lambda+6=0$ y $9-3\lambda=0$ .

Answer 2

Utiliza la fórmula del determinante para las tres primeras columnas de la matriz (que componen una matriz triangular superior, por lo que sólo necesitas obtener el producto de los elementos diagonales).

Hay una solución si y sólo si el determinante que has obtenido no es igual a cero (teorema del determinante). Entonces, comprueba los valores para los que el determinante es igual a 0 y escribe las nuevas matrices utilizando esos valores.

Para cada nueva matriz, tienes que estudiar cuántas filas o columnas dependientes/independientes tienes (también puedes usar el algoritmo de Gauss).

Sabiendo eso, puedes tener una conclusión usando el teorema de Rouché-Capelli.

Answer 3

Ver si hay un pivote en la columna tres. tienes uno si $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq 3$ implicando en estos casos que tienes una solución única. ahora solo te quedan los casos $\lambda = 2$ y $\lambda = 3.$ Dejaré que te encargues de eso.