Durante una charla en la que estuve hoy, el ponente mencionó que si se trunca la serie de Taylor para $e^x - 1$ se obtienen muchas raíces con parte real distinta de cero, aunque la serie de Taylor completa sólo tiene raíces imaginarias puras.
Si se trazan las raíces de los truncamientos de $e^x - 1$ (o consulte las parcelas ya preparadas en este Mathematica cuaderno Ahora está disponible como PDF ) puedes ver un montón de características interesantes. ¡Me gustaría saber de dónde vienen! Sé que hay una vasta literatura sobre polinomios, pero soy un principiante total, y no sé por dónde empezar.
He aquí algunas preguntas concretas:
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Las raíces de un truncamiento de alto grado parecen pertenecer a dos categorías: raíces que se encuentran muy cerca del eje imaginario y raíces que se encuentran en una curva en forma de C. (Otra interpretación es que todas las raíces se encuentran en una curva, que tiene un pliegue muy agudo cerca del eje imaginario). ¿Puedes escribir una ecuación para la curva?
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Si colocas las raíces de muchos truncamientos consecutivos juntos en el mismo gráfico, verás "rayas" definidas a la derecha del eje imaginario. Una vez que aparece una franja, cada truncamiento de grado superior pega otra raíz en el extremo, haciendo que la franja crezca hacia fuera. ¿Puedes escribir las ecuaciones de las rayas?
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Si $k$ es impar, el truncamiento de grado $k$ no tiene raíces reales no nulas. Si k es par, el truncamiento de grado $k$ tiene una raíz real no nula. La ubicación de esta raíz depende casi linealmente en $k$ . ¿Por qué la dependencia es tan cercana a la linealidad? ¿Se vuelve más lineal a medida que $k$ aumenta, o menos?
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¿Pueden las raíces tener identidades que persistan en el tiempo? Es decir, como $k$ aumenta, ¿se puede señalar una secuencia de raíces y decir: "todos esos son el mismo individuo, que nació en $k$ = así pues, está siguiendo tal o cual trayectoria, y crecerá hasta convertirse en la raíz ( $2\pi i\cdot$ lo que sea) de $e^x - 1$ "?
