Raíces de truncamientos de $ e^x - 1$

Question

Durante una charla en la que estuve hoy, el ponente mencionó que si se trunca la serie de Taylor para $e^x - 1$ se obtienen muchas raíces con parte real distinta de cero, aunque la serie de Taylor completa sólo tiene raíces imaginarias puras.

Si se trazan las raíces de los truncamientos de $e^x - 1$ (o consulte las parcelas ya preparadas en este Mathematica cuaderno Ahora está disponible como PDF ) puedes ver un montón de características interesantes. ¡Me gustaría saber de dónde vienen! Sé que hay una vasta literatura sobre polinomios, pero soy un principiante total, y no sé por dónde empezar.

He aquí algunas preguntas concretas:

1. Las raíces de un truncamiento de alto grado parecen pertenecer a dos categorías: raíces que se encuentran muy cerca del eje imaginario y raíces que se encuentran en una curva en forma de C. (Otra interpretación es que todas las raíces se encuentran en una curva, que tiene un pliegue muy agudo cerca del eje imaginario). ¿Puedes escribir una ecuación para la curva?

2. Si colocas las raíces de muchos truncamientos consecutivos juntos en el mismo gráfico, verás "rayas" definidas a la derecha del eje imaginario. Una vez que aparece una franja, cada truncamiento de grado superior pega otra raíz en el extremo, haciendo que la franja crezca hacia fuera. ¿Puedes escribir las ecuaciones de las rayas?

3. Si $k$ es impar, el truncamiento de grado $k$ no tiene raíces reales no nulas. Si k es par, el truncamiento de grado $k$ tiene una raíz real no nula. La ubicación de esta raíz depende casi linealmente en $k$ . ¿Por qué la dependencia es tan cercana a la linealidad? ¿Se vuelve más lineal a medida que $k$ aumenta, o menos?

4. ¿Pueden las raíces tener identidades que persistan en el tiempo? Es decir, como $k$ aumenta, ¿se puede señalar una secuencia de raíces y decir: "todos esos son el mismo individuo, que nació en $k$ = así pues, está siguiendo tal o cual trayectoria, y crecerá hasta convertirse en la raíz ( $2\pi i\cdot$ lo que sea) de $e^x - 1$ "?

Answer 1

Esbozaré las respuestas a las 4 preguntas. En algunos casos son diferentes de las respuestas para $e^x$ .

La fórmula integral para el resto en el teorema de Taylor es un punto de partida natural para explicar todos estos fenómenos. Aunque los polinomios de Taylor $T_k(x)$ de $e^x-1$ se definen inicialmente sólo para números enteros no negativos $k$ la fórmula integral permite extender la definición a valores no integrales de $k$ para que uno pueda observar los ceros de $T_k(x)$ se deforman continuamente como $k$ aumenta gradualmente de un número entero a otro.

El teorema de Taylor dice $$f(x) = T_k(x) + \int_0^x \frac{(x-t)^k}{k!} f^{(k+1)}(t)\, dt,$$ que para $f(x)=e^x-1$ lleva a $$T_k(x) = e^x - 1 - \int_0^x \frac{(x-t)^k}{k!} e^t \, dt$$ para todos $k \in \mathbf{Z}_{\ge 1}$ . Si interpretamos $k!$ como $\Gamma(k+1)$ Utiliza la trayectoria en línea recta desde $0$ a $x$ y utilizar el eje real negativo en el $x$ -como corte de rama, entonces el lado derecho define una función analítica de dos variables complejas en la región $$\{ (k,x) \in \mathbf{C}^2 : \text{Re}(k)>-1, x \notin \mathbf{R}_{\le 0} \}.$$ Esto conduce a ecuaciones implícitas para las "rayas" de la pregunta 2 y la "trayectoria" de la pregunta 4.

Consideremos ahora la pregunta 3, sobre los ceros reales de $T_k(x)$ para $k \in \mathbf{Z}_{\ge 1}$ . Desde $T_k(x)$ tiene coeficientes no negativos, todos los ceros no nulos son negativos. Establezca $x=-y$ y $t=-u$ en $T_k(x)=0$ para obtener $$1-e^{-y} = (-1)^k \int_0^y \frac{(y-u)^k}{k!} e^{-u} \, du.$$ Si $k$ es impar, los dos lados tienen signo opuesto para $y>0$ Así que $T_k(x)$ no tiene ceros reales no nulos. Si $k$ es par, entonces $T_k(x) \to +\infty$ como $x \to -\infty$ pero $T(x)=x+\cdots<0$ para los pequeños negativos $x$ Así que $T_k(x)$ tiene un cero negativo, y por el teorema de Rolle no puede haber más de uno. ¿Dónde está, aproximadamente? Reescribe la ecuación para el par $k$ como $$1-e^{-y} = \frac{y^k}{k!} \int_0^y e^{k \log(1-u/y)} e^{-u} \, du$$ Utilizando la fórmula de Stirling $k! \approx (k/e)^k \sqrt{2\pi k}$ vemos que $y \approx k/e$ y entonces la integral es aproximadamente $\int_0^\infty e^{-eu-u} \, du = 1/(e+1)$ Así que más exactamente, $$y \approx (k!/(e+1))^{1/k} \approx \frac{k}{e} + \frac{1}{2e} \log k + c + o(1)$$ donde $c := \frac{1}{e} \log \left( \frac{\sqrt{2\pi}}{e+1} \right)$ . He omitido el análisis de errores, pero no es difícil. Con más trabajo, se podría obtener una expansión asintótica. El cero real negativo de $T_k(x)$ es el negativo de este $y$ . Esto responde a la pregunta 3.

Por último, vamos a esbozar una respuesta a la pregunta 1, sobre la ubicación de los ceros complejos. El tamaño de $1-e^{-y}$ se trata de $1$ si $\text{Re}(y)$ es algo positivo, y entonces el análisis es el mismo que el anterior para el cero real negativo, excepto que ahora consideramos también el otro $k^{\text{th}}$ raíces con $\text{Re}(y)<0$ . Así que estos ceros están muy cerca de un semicírculo, como se predijo, y las desviaciones se explican por el hecho de que la aproximación $1/(e+1)$ a la integral anterior se sustituye por alguna función de $y/k$ . De nuevo, esto puede hacerse cuantitativo, y demostrarse con la ayuda del teorema de Rouché si se desea.

Para entender los ceros complejos con parte real positiva grande, vuelva a la primera ecuación integral para $T_k(x)$ , sustituto $t=x-v$ y dividir por $e^x$ para obtener la ecuación $$1 - e^{-x} = \int_0^x \frac{u^k}{k!} e^{-u} \, du.$$ Con un factor de $e^{o(k)}$ el valor absoluto de la integral es $\left| \frac{x^k}{k!} e^{-x} \right|$ . Así que si tomamos valores absolutos, utilizamos la fórmula de Stirling, y tomamos $k^{\text{th}}$ raíces, entonces hasta un factor de $e^{o(1)}=1+o(1)$ obtenemos $$ 1 \approx \frac{|x|}{k/e} \left| e^{x/k} \right| $$ así que $z:=x/k$ satisface $|z e^{1-z}| \approx 1$ . De nuevo, esto se puede precisar.

Más arriba hemos utilizado implícitamente que el orden de magnitud de $e^x-1$ es la de $e^x$ si $\operatorname{Re}(x)$ es grande y positivo, y de orden $1$ si $\operatorname{Re}(x)$ es grande y negativo. En la región intermedia, ésta puede fallar cuando $x$ se acerca a un múltiplo entero de $2\pi i$ . Esto conduce a ceros cerca del segmento que une $ik/e$ y $-ik/e$ , en la que la integral del párrafo anterior puede ser pequeña.

Respuesta final a la pregunta 1: Si tomamos los ceros de $T_k(x)$ y normalizar dividiendo por $k$ convergen a la unión del semicírculo $|z|=1/e$ con $\operatorname{Re}(z)\le 0$ el segmento que une $i/e$ y $-i/e$ y la parte de la curva $|ze^{1-z}|=1$ con $|z| \le 1$ y $\operatorname{Re}(z) \ge 0$ .

Nótese la diferencia con la respuesta de Szegö para los polinomios de Taylor de $e^x$ mencionado en el post de Harald Hanche-Olsen.

Answer 2

Por fin me puse a buscar un poco en Google y enseguida me encontré con http://www.mai.liu.se/~halun/complex/taylor/ que describe el mismo fenómeno para la propia función exponencial. En resumen, si P _n es el polinomio de Taylor de e x entonces los ceros de P _n (nx) se acumulan en la curva |ze 1-z |=1, |z|≤1. Atribuyen este descubrimiento a Szegő (1924). Véase también el artículo Sobre los ceros de los polinomios de Taylor asociados a la función exponencial de Brian Conrey y Amit Ghosh (The American Mathematical Monthly, 95 , nº 6 (1988), pp. 528-533), http://www.jstor.org/stable/2322757 si tiene acceso a JSTOR.

Answer 3

Haré una observación básica: el truncamiento de $e^x$ al grado $n$ tiene una raíz real si $n$ es impar, y ninguno si $n$ es par. Prueba: Sea $f_n$ sea el truncamiento de $e^x$ al grado $n$ . Observe que $f'_n = f_{n-1}$ .

Nuestra prueba es por inducción en $n$ El caso base es obvio. Supongamos que $f_{2k}$ no tiene ninguna raíz real. Entonces $f_{2k}$ es positivo en todas partes, por lo que $f_{2k+1}$ es creciente y tiene a lo sumo una raíz real; siendo de grado impar, tiene una. Ahora, supongamos que $f_{2k+1}$ tiene una raíz real, digamos en $r$ . Entonces $f_{2k+2}(r) = r^{2k+2}/(2k+2)! > 0 $ . Pero $f_{2k+2}$ tiene su mínimo en $r$ Así que $f_{2k+2}$ es positivo en todas partes. Esto concluye la inducción.

¿Qué importancia tiene esto para usted? Utilizando el teorema de Rolle, puedes concluir que los truncamientos de $e^x-1$ tienen precisamente $1$ y $0$ o $2$ raíces, respectivamente.

Answer 4

Hechos geniales/ Generalizaciones de lo anterior

(Esto tiene que ver con la pregunta 1 que ya fue respondida)

ASYMPTOTICS : Las curvas de Szego fueron estudiadas por Varga y Carpenter para las funciones trigonométricas en 2000 y 2001. Dieron una familia de curvas $A_n$ que se acercan a una curva como la descrita en el post anterior como $n\to\infty$ las raíces. www.math.kent.edu/~varga/pub/paper_230.pdf .

De hecho, hay un artículo anterior que hace algo similar para las raíces de la función exponencial también.

OTRAS CURVAS SZEGO : Hay muchos otros ejemplos de curvas de Szego. Por ejemplo Bleher y Mallison tienen descripciones explícitas para las Curvas de Szego de Sumas Exponenciales. Que son funciones de la forma

$$ f(z) = e^{a_1 z} + e^{a_2 z} +\cdots + e^{ a_m z}$$

Existe una descripción explícita de la curva szego asociada en términos de un polígono formado por el $a_i$ en el plano complejo arxiv.org/abs/math-ph/0605066

También hay muchos resultados sobre los ceros de los polinomios ortogonales. Por ejemplo Boyer y Goh tienen uno sobre los polinomios de Euler http://arxiv.org/abs/0711.1400v1

De hecho, hice un proyecto sobre la curva de Szego para la función exponencial cuando era estudiante y todavía tengo algunas preguntas pendientes. (por cierto, acabo de publicar algunas imágenes y películas de raíces de series de Taylor truncadas y un cuaderno de mathematica para la gente que esté interesada en jugar con estas cosas: http://www.math.ucla.edu/~dupuy/psmovies/psmovies.html )

Tengo una pregunta de seguimiento: ¿Cómo se demuestra que las curvas de Szego existen para funciones enteras generales? ¿Se puede demostrar que son subconjuntos a trozos de conjuntos de nivel de funciones armónicas? Ni siquiera sé cómo demostrar que existe una normalización en general. Parece que todas las matemáticas para las curvas de Szego de funciones particulares utilizan la forma de una función para demostrar sus resultados.

PROBLEMA DE NORMALIZACIÓN : He pensado, pero no he podido probar, que para una función entera general las raíces espurias crecen como $\lambda_n=|a_n|^{-1/n}$ . Lo haré más preciso. Que $f = a_0 + a_1z+ \cdots $ sea una función entera y para simplificar supongamos que $f(z)$ no tiene ceros. Supongamos que $z_n$ es cualquier secuencia de números tal que $s_n[f](z_n)=0$ . Demostrar que $0<\vert z_n \vert \lambda_n \vert \leq B$ donde $B$ es una constante para $N$ suficientemente grande.

Hay dos razones para sospechar que todas las raíces crecen como $|a_n|^{-1/n}$ . La primera se debe a que |a_0/a_n| es el producto de las raíces del polinomio $s_n[f]$ que hace que $|a_n|^{-1/n}$ igual a la media multiplicativa asintóticamente. La segunda es que éste es el radio de convergencia, y las raíces de las series de Taylor para funciones que no son enteras se acumulan en el radio de convergencia. Esta afirmación sería una generalización de este hecho.

Answer 5

No es realmente una respuesta, sólo algunas ideas preliminares:

Dado que el truncamiento f _k converge uniformemente a f=e x -1 en cualquier conjunto compacto, y dado que las raíces de f son simples, sabemos que para cada raíz de f, si tomamos un k suficientemente grande tenemos una raíz de f _k en sus alrededores. Esto también significa que se pueden identificar las raíces para diferentes k.

Utilizando la fórmula de Stirling se puede ver que (f-f _k )(-ak) es muy pequeño cuando a<1/e. Esto significa que no se puede tener una raíz en este intervalo. Cuando se toma a>1/e los términos empiezan a fluctuar de forma muy salvaje, por lo que no es de extrañar que se encuentre una raíz allí. ¿Tengo razón en que la constante parece cercana a 1/e?