Área máxima delimitada por $y^2=4ax$ , $y=ax$ y $y=\frac x a$

Question

Tengo el siguiente problema que obtuve de una cuenta de Instagram de matemáticas que quiero resolver:

https://www.instagram.com/p/CTMxl-gpfXo/?utm_source=ig_web_copy_link

Encuentra el área máxima delimitada por las curvas $y^2=4ax$ , $y=ax$ y $y=\frac x a$ tal que $a\in [1,2]$

He trazado las funciones en la calculadora gráfica desmos y tengo la siguiente gráfica donde a=1,5.

Mi pregunta es a qué zona se refieren. El área delimitada por tres curvas parece una cuestión un tanto impar teniendo en cuenta que tienes dos funciones lineales. Ignorando la función púrpura $y=\frac x a$

$$A= \int_0^{k}\sqrt{4ax}-ax dx$$ $k$ es la intersección de $y=ax$ y $y^2=4ax$ Por lo tanto, $x(a^2 x-4a)=0\Rightarrow k=4/a$ $$\Rightarrow A= \int_0^{4/a}\sqrt{4ax}-ax dx= \Big[\frac 4 3 \sqrt{(ax)^3} -\frac a 2 x^2 \Big]^{4/a}_0= \frac {32} {3a}- \frac 8 a =\frac{8}{3a} $$

Parece un problema muy extraño pero quiero aclarar si lo he hecho correctamente. Gracias por su tiempo. Quizás debería alejarme de Instagram si quiero aprender matemáticas

Answer 1

Curiosamente, en matemáticas, la línea recta es también una curva ( wiki )

Así que llegando a la pregunta, es el área que están obligados por $3$ curvas, dos de las cuales son líneas rectas. Por lo tanto, debe ser el área que está sombreada en el siguiente diagrama.

Intuitivamente, el área delimitada debería aumentar a medida que aumenta la diferencia de pendientes de ambas rectas - una de ellas tiene pendiente $a$ y el otro tiene pendiente $\displaystyle\frac{1}{a}$ .

La diferencia de pendiente es máxima en $a = 2$ . También se da que la apertura de la parábola $y^2 = 4ax$ aumenta a medida que $a$ aumenta.

Has encontrado la zona delimitada entre $y^2 = 4ax$ y $y = ax$ que es $ \displaystyle \frac{8}{3a}$ . Esta zona $ \displaystyle \frac{8}{3a}$ se reduce como $a$ aumenta para $a \geq 1$ .

Del mismo modo, la zona delimitada entre $y^2 = 4ax$ y $x = ay$ es,

$\displaystyle \int_0^{4a^2} \int_{y^2/4a}^{ay} dx ~ dy = \frac{8a^5}{3} ~$ . Esta superficie aumentará a medida que $a$ aumenta (dado $a \geq 1$ ).

Así que el área delimitada por las tres curvas es máxima en $a = 2$ y viene dado por -

$\displaystyle \frac{8}{3} \left(a^5 - \frac{1}{a} \right)$ .

Answer 2

La región delimitada por las tres líneas es la región por encima de la parábola y por debajo de ambas rectas. La parábola y la recta púrpura se encuentran en $\left(4a^3,4a^2\right)$ (además $(0,0)$ por supuesto) y la parábola y la recta verde se encuentran en $\left(\frac4a,4\right)$ (de nuevo, además de $(0,0)$ ). Dado que $a\geqslant1$ , $\frac4a\leqslant4a^3$ . Por lo tanto, el área es igual a $$\int_0^{4/a}ax-\frac xa\,\mathrm dx+\int_{4/a}^{4a^3}\sqrt{4ax}-\frac xa\,\mathrm dx.$$