Tomemos un espacio topológico de Hausdorff completamente regular $X$ considerado como un subconjunto de su compactación Stone-Čech $\beta X$ . Si $X$ no es normal, podemos encontrar un subconjunto cerrado $Y$ de $X$ y una función continua $f:Y\rightarrow[0,1]$ sin extensión continua a $\overline{Y}^{\beta X}$ . Puede $f$ no tienen una extensión continua a cualquier $Z\subseteq\overline{Y}^{\beta X}$ conteniendo adecuadamente $Y$ ? ¿Puede suceder esto cuando $Y$ no es localmente compacto (por lo que $Y$ no está abierto en $\overline{Y}^{\beta X}$ )?
Respuesta
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Martin Hollingsworth
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Si no se me escapa nada, el siguiente es un ejemplo sencillo de dicho espacio. La idea es tener un espacio tal que $\beta X$ es igual a la compactación de un punto de $X$ .
Considere la tabla de Tychonov $T=(\omega_1+1)\times(\omega+1)$ y $X$ sea su subespacio $T - \{\langle \omega_1,\omega\rangle\}$ . Entonces $T=\beta X$ como es bien sabido, véase por ejemplo http://dantopology.wordpress.com/2009/10/21/the-tychonoff-plank/ . Tomemos el subconjunto cerrado habitual $Y=\{\langle \omega_1,y\rangle :y\in\omega\}\cup\{\langle x,\omega\rangle :x\in\omega_1\}$ , entonces $\overline{Y}^{\beta X}-Y$ es el singleton $\{\langle \omega_1,\omega\rangle\}$ . Así, la función $f$ que tiene valor $0$ en una parte de $Y$ y $1$ por otro lado, no puede extenderse continuamente a cualquier subconjunto de $\bar{Y}^{\beta X}$ conteniendo adecuadamente $Y$ .
