¿Son el momento angular y el par motor tan fundamentales como el momento lineal y la fuerza?

Question

Muchas veces veo preguntas como este o este , tratando de entender el par o el momento angular a partir de las 3 leyes de Newton. También hay este pregunta en la que hay una buena discusión sobre el tema, aunque más centrada en el espín y la mecánica cuántica.

Pero hablando de mecánica clásica, las 3 leyes (con el añadido de la gravitación) se presentan normalmente como el fundamento del que se deriva toda la mecánica como consecuencia.

En mi opinión, son necesarias 3 leyes adicionales:

1. Si la suma de los pares es cero, el momento angular de un cuerpo es constante.

2. $\tau = \frac{dL}{dt}$ .

3. Si un cuerpo A realiza un par de torsión en B, B realiza un par de torsión igual y opuesto en A, de modo que el momento angular total no cambia.

Si hacemos una analogía con el álgebra lineal, esas 6 leyes (7 con la gravedad) forman una "base de vectores linealmente independientes" para la mecánica clásica.

Pero no recuerdo haber visto nunca esa afirmación claramente presentada. Sólo porque el momento lineal se utiliza para definir el momento angular, no significa que las propiedades de conservación del segundo sean un corolario del primero.

Answer 1

Está casi en lo cierto.

1. La suma de pares de torsión en torno al centro de masa es cero significa momento angular constante.
2. El par de torsión alrededor del centro de masa de un cuerpo es igual a la tasa de cambio del momento angular sobre el centro de masa .
3. Dos cuerpos en contacto tienen aplicados pares iguales y opuestos medido por un punto común y no sus respectivos centros de masa.

Quiero extenderme un poco más en 1 y 2.

Si el punto C es el centro de masa, y el punto A es algún otro punto, el inicio con el par en la COM $\vec{\tau}_C$ y el momento angular en la COM $\vec{L}_C$ y relacionarlos en forma vectorial como $$ \vec{\tau}_C = \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{L}_C \tag{1}$$ Ahora transforme la toruqe a un punto diferente con $$\vec{\tau}_C = \vec{\tau}_A + (\vec{r}_C - \vec{r}_A) \times \vec{F} \tag{2}$$ donde $\vec{r}_A$ y $\vec{r}_C$ son los vectores de posición de los puntos correspondientes, y $\vec{F}$ es la fuerza neta aplicada.

Además, transforma el momento angular en punto A con

$$ \vec{L}_C = \vec{L}_A + (\vec{r}_C - \vec{r}_A) \times \vec{p} \tag{3}$$ donde $\vec{p}$ es el impulso. Usa (3) y (2) en (1), y también la 2ª ley de Newton de $\vec{F} = \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{p}$ para llegar a

$$ \boxed{ \vec{\tau}_A = \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{L}_A + \vec{v}_A \times \vec{p} } \tag{4}$$

donde $ \vec{v}_A = \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{r}_A$ es la velocidad de A y $\vec{v}_C \times \vec{p} = 0$ ya que la velocidad del centro de masa es paralela a la dirección del impulso.

Así que (4) es el ley general relacionando el par neto alrededor de un punto arbitrario, con la tasa de cambio del momento angular alrededor del mismo punto. El segundo término sólo desaparece cuando el punto A no se mueve o es co-movimiento con el centro de masa, o si el cuerpo está puramente girando alrededor del centro de masa (momento cero), o girando alrededor de A . En todas esas condiciones, lo anterior se convierte en la ecuación que usted ha planteado $ \vec{\tau}_A = \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{L}_A $ .

Una última nota sobre la 3. Ver esta respuesta en el intercambio de par entre dos engranajes en contacto. La razón por la que el punto 3 que has indicado es incorrecto es porque los contactos se producen como fuerzas a lo largo de líneas específicas (la normal de contacto) y no sólo se conserva la magnitud y la dirección del impulso (ya que se intercambia un impulso entre cuerpos a lo largo de la normal), sino también la ubicación de la normal de contacto en el espacio. Por lo tanto, también se conserva el par del impulso (comúnmente conocido como momento angular).

Además, la referencia esta respuesta de la que también se deriva la ecuación (4) .

Answer 2

Teorema de Noether relaciona las leyes de conservación con las simetrías del espacio. Más concretamente:

• la conservación del momento lineal se deriva de la homogeneidad del espacio, es decir, de la invariancia de las leyes físicas respecto a la traslación.
• la conservación de la energía se deriva de la homogeneidad del tiempo
• la conservación del momento angular se desprende de la isotropía del espacio, es decir, de la invariancia con respecto a las rotaciones/direcciones.

La advertencia es que estos argumentos se hacen en el contexto de la mecánica clásica, donde estas simetrías son fundamentales, mientras que las ecuaciones de movimiento se suceden. La mecánica newtoniana que se estudia en la escuela y en los primeros cursos universitarios tiene un enfoque diferente: postula las tres leyes de Newton, que permiten derivar el resto. En otras palabras, las leyes adicionales formuladas en la pregunta no son necesarias. Además, parecen basarse en una interpretación estrecha de las leyes de Newton, como si sólo se aplicaran a las fuerzas lineales y al momento, lo que probablemente sea una impresión dada por un libro de texto concreto.

Permítanme también señalar que la formulación de la primera ley que se da aquí (y en muchos libros de texto) es inadecuada: la hace parecer un caso particular de la segunda ley (para la aceleración cero). Lo que realmente dice la primera ley es que existen tales marcos de referencia, en los que un cuerpo, sobre el que actúa una fuerza neta nula, se moverá con una velocidad constante . En otras palabras, postula la existencia de marcos de referencia inerciales, en los que se aplican la segunda y la tercera ley. La formulación que aparece en la mayoría de los libros de texto es matemáticamente equivalente, pero cambia la causa y la consecuencia.

Answer 3

Tiene razón en que son necesarias leyes adicionales. Esto se debe a que, como señalas, desde la perspectiva del teorema de Noether, la simetría rotacional es algo distinto e irreductible por derecho propio a la simetría traslacional. Un contraejemplo sencillo de la reducibilidad de la simetría rotacional es la "geometría del taxi", que es un espacio en el que en lugar de que la fórmula de la distancia sea

$$d(P, Q) = \sqrt{(Q_x - P_x)^2 + (Q_y - P_y)^2}$$

es

$$d_T(P, Q) := |Q_x - P_x| + |Q_y - P_y|$$

donde $P = (P_x, P_y)$ y $Q = (Q_x, Q_y)$ son los dos puntos que queremos considerar. Esta última sólo tiene un grupo de simetría rotacional finito, pero su simetría traslacional es tan buena como la geometría euclidiana.

Sin embargo, no se necesitan tres leyes, aunque es definitivamente más intuitivo y natural comenzar con una presentación de este tipo. Basta con una ley más:

• Las fuerzas que ejercen dos cuerpos entre sí sólo actúan a lo largo de la línea que los separa. [ 1 ]

Es decir, si $\mathbf{F}_{12}$ es la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2, que, utilizando el producto cruzado para comprobar el paralelismo,

$$\mathbf{F}_{12} \times \mathbf{r}_{12} = \mathbf{0}$$

que se puede ver es literalmente la afirmación de que no hay par de torsión ( $\mathbf{r} \times \mathbf{F})$ en el sistema resultante de los dos cuerpos solos, es decir, no hay sistemas de autotorsión. (No se necesita la declaración correspondiente para $\mathbf{F}_{21}$ porque la tercera ley de Newton ya obliga a que desde $\mathbf{F}_{12}$ ).

Answer 4

Me parece que hay una dualidad entre la mecánica lineal y la mecánica angular. El movimiento uniforme a lo largo de la circunferencia de un círculo puede representarse como una superposición de dos oscilaciones armónicas perpendiculares. A la inversa, la oscilación armónica lineal puede representarse como una superposición de dos movimientos circulares contrarrotantes. (Por ejemplo, el movimiento de la caña de un péndulo de Foucault puede representarse como una superposición de soluciones para el movimiento de un péndulo cónico. En la solución matemática, el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj y el movimiento en sentido de las agujas del reloj tienen un período diferente, que corresponde a la desviación del plano de oscilación).

El siguiente diagrama expresa la primera ley de Newton, y también expresa una ley de área. Newton utilizó esa ley de área para su derivación de la ley de áreas de Kepler a partir de los primeros principios .

En ausencia de cualquier fuerza neta, un objeto se moverá a lo largo de una línea recta (ABCDE), cubriendo distancias iguales en intervalos de tiempo iguales.

Además, con respecto al punto "S" el objeto barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.

En términos de mecánica newtoniana:

Para que exista un momento lineal basta con una sola dimensión espacial, y el movimiento en tres dimensiones espaciales puede representarse como una superposición de tres movimientos, uno por cada dimensión espacial.

Para que exista un momento angular el número mínimo de dimensiones espaciales es dos Por supuesto. Geométricamente el momento angular corresponde a zona .

En términos de mecánica newtoniana, el momento angular no puede definirse en ausencia de cualquier fuerza. La configuración mínima absoluta es la de dos masas puntuales que ejercen una fuerza la una sobre la otra, provocando cada una el cambio de movimiento de la otra. Entonces podemos señalar un único punto que sabemos que es un punto no acelerado : el centro de masa común de las dos masas puntuales. Generalizando: para el momento angular el centro de masa común de todas las masas participantes es la referencia del movimiento. Sólo el momento angular con respecto al centro de masa común es consistente.

(Más allá del ámbito de la mecánica newtoniana: puede ser que sea posible una teoría del movimiento en la que la dualidad traslación/rotación sea completa. No lo sé).

En cuanto a la dinámica newtoniana: Prefiero pensar en términos de alguna forma de dualidad de la mecánica lineal y angular, de modo que ambas no son independientes.

Además, coincido con la afirmación del colaborador Vadim sobre la primera ley de Newton. Coincido en que, en su forma histórica, la primera ley es redundante.

Con el beneficio de la retrospectiva, sabemos que en cualquier teoría del movimiento (newtoniana, SR, GR) lo primero que hay que afirmar es que las propiedades geométricas del escenario en el que se desarrolla la física.

Invertir la secuencia histórica de las teorías:

GR: la métrica del espaciotiempo se describe mediante una solución de las ecuaciones de campo de Einstein

SR: la métrica del espaciotiempo es la métrica de Minkowski

Newtoniano: el espacio tiene las mismas simetrías que la geometría euclidiana.

En los Principia vemos que Newton afirma inmediatamente que es válido hacer la suma de vectores (en aquel entonces aún no se llamaba "suma de vectores", pero es lo que Newton hacía/aplicaba). Es decir, para formular la mecánica newtoniana hay que conceder que la geometría euclidiana es un modelo válido para las propiedades geométricas del espacio físico.

En términos de geometría euclidiana, la simetría bajo rotación está implícita.