Supuesto de uniformidad de una función continua uniforme a trozos

Question

Me interesa una función $f$ que es parcialmente continua uniforme, es decir, existe una secuencia (posiblemente infinita) de intervalos abiertos $\{(t_i,t_{i+1})\}_{i=1}^{\infty}$ tal que para cada $\epsilon>0$ $\exists \:\delta_i(\epsilon)>0$ con $|f(\bar{t}_2)-f(\bar{t}_1)|\leq \epsilon$ para todos $|\bar{t}_2-\bar{t}_1|\leq \delta_i(\epsilon)$ y $\bar{t}_1,\bar{t}_2\in(t_i,t_{i+1})$ , $\forall i=1,2,\ldots$ .

Quiero imponer además un supuesto de uniformidad a la propiedad anterior, es decir, suponer que podemos encontrar una función $\delta(\epsilon)>0$ tal que para cada $\epsilon>0$ tenemos $|f(\bar{t}_2)-f(\bar{t}_1)| \leq\epsilon$ para todos $|\bar{t}_2-\bar{t}_1|\leq \delta(\epsilon)$ y $\bar{t}_1,\bar{t}_2\in(t_i,t_{i+1})$ , $\forall i=1,2,\ldots$ .

¿Existe un nombre para esta propiedad? Y si no es así, ¿cómo sugeriría llamarla?

Answer 1

Probablemente un buen nombre es

uniformemente continua a trozos

ya que típicamente "uniformemente algo" significa que todo el algo se mantiene de una sola manera uniforme.

Entonces puedes decir que u.p.c. implica p.u.c., porque " $\exists \delta\forall i$ " implica " $\forall i\exists\delta$ ".