¿Cómo interpretar esta parte de una integración? (Áreas y volúmenes)

Question

Este semestre he aprendido a calcular áreas y volúmenes mediante el uso de integraciones dobles y triples, el procedimiento fue sencillo y algo fácil, pero hubo algo que nunca pude entender al 100%, es más bien una pega para ser sincero.

Para elaborar mejor mi problema trabajaré con rectángulos y cuboides. Perdón por el mal dibujo.

La fórmula para calcular el área de este rectángulo es

$\iint_V dx\,dy$

$ V = \{ 0 \le x \le 4 \land 0 \le y\le2 \}$

o

$\int_W 2dx$

$ W = \{ 0 \le x \le 4 \} $

En mi opinión, la segunda es más fácil de explicar. Utilizando la analogía del "rayo", que para cada $x$ valor hay un rayo de "altura" 2 que se dispara y la suma de todos ellos es el área.

Aquí viene el problema,

Desde $\iint_V dx\,dy = \iint_V 1 * dx\,dy $

¿Qué significa el 1 en este contexto?

Lo más parecido que se me ocurre es que es la altura de un cubo rectangular y como es 1, el área de la base es igual al volumen. ¿Es correcta esta afirmación?

Answer 1

Significa el área de cada elemento infinitesimal (rectángulo) de dimensiones $dx$ y $dy$ es $dx$ veces $dy$ es decir $= dxdy = 1*dxdy$ . Tomamos como unidades, un cuadrado formado por la unidad 1 de lado tiene área de 1 en las unidades de área correspondientes.

Answer 2

Eso es exactamente así. La misma idea funciona también en dimensiones superiores.

Digamos que queremos calcular el volumen del cubo unitario (trivial, lo sé, pero es sólo un ejemplo). Podemos expresarlo como

$$\iiint_R\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\iiint_R1\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z,$$

donde $R=\{(x,y,z)\mid0\le x,y,z\le1\}$ que es, esencialmente, la descripción de una figura cuatridimensional con una longitud de $1$ en una cuarta dimensión espacial (sea cual sea).