Pregunta general:
Sabemos que para un vector $v \in \mathbb{R}^n$ , $v^T\cdot v=\|v\|_2^2$ que puede interpretarse como el cuadrado de la longitud de este vector. Sin embargo, ¿cuál es la interpretación intuitiva, si es que hay alguna, de $v\cdot v^T \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ?
Antecedentes específicos:
Los antecedentes están relacionados con la teoría de grafos; sería estupendo que ya tuvieras algunos conocimientos al respecto, ya que las siguientes partes contienen muchos conceptos básicos de la teoría de grafos. Si no estás interesado, puedes centrarte en la pregunta general e ignorar la parte siguiente :)
Esta pregunta se inspira en el Matriz laplaciana $L$ de un grafo no dirigido $G$ . Es decir, \begin{equation}\tag{1} L=D\cdot D^T \end{equation} donde $D$ es el matriz de incidencia de $G$ . Además, la matriz laplaciana puede calcularse de otra manera, es decir, \begin{equation}\tag{2} L=\Delta-A \end{equation} donde $\Delta$ es el matriz de grados y $A$ es el matriz de adyacencia de $G$ respectivamente. Lo interesante aquí es la matriz laplaciana $L$ , matriz de incidencia $D$ , matriz de grados $\Delta$ y la matriz de adyacencia $A$ tienen sus interpretaciones intuitivas relacionadas con la topología del grafo $G$ . Es fácil entender lo que $L$ es por la fórmula (2) pero no pude entender (1) de manera intuitiva relacionada con la estructura de $G$ ¿Y cómo (1) y (2) son equivalentes? Creo que mis preguntas específicas en este fondo de teoría de grafos podrían generalizarse a la pregunta general en el campo del Álgebra Lineal ya que $D$ podría descomponerse en varios vectores columna, por ejemplo $D=[d_1 \ d_2 \ d_3]$ Así que \begin{equation}\tag{3} L=D\cdot D^T= \begin{bmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} d_1^T \\ d_2^T \\ d_3^T \end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{3} d_i\cdot d_i^T \fin{ecuación} Pero no estoy seguro de si esta descomposición me ayuda a entender mejor este fondo específico o no (podríamos descomponer $D$ en varios vectores de fila también).
Nota:
No estoy seguro de si mi generalización del fondo específico a la cuestión general es una buena manera de entender la teoría de los grafos o no. Pero cualquier ayuda sería apreciada ya sea relacionada con los antecedentes de la teoría de grafos o relacionada con el álgebra lineal simplemente o relacionada con otros campos como la física, etc.
