Pour un $n \times n$ matriz $A$ dado que $A^2=A, A\neq I$ , demuestran que $\det A=0$

Question

Pour un $n \times n$ matriz $A$ dado que $A^2=A, A\neq I$ , demuestran que $\det A=0.$

No estoy seguro de cómo empezar a mostrar esto, ¿alguien tiene algún consejo sobre cómo empezar? He intentado crear una matriz genérica con elementos de a a i y luego elevarla al cuadrado, pero resolver y mostrar la igualdad de las dos matrices parece demasiado difícil y tedioso.

Answer 1

Sugerencia Si $\det(A) \neq 0$ entonces $A$ es invertible. Multiplica tu relación por $A^{-1}$ para obtener una contradicción.

Answer 2

Una pista: $A(A-I)=0$ , $A\neq I$ implica $A-I\neq 0$ , $\operatorname{Im}(A-I)\subset \ker(A)$ y $A$ no es inyectiva implica $\det(A)=0$ .

Answer 3

Desde $A(A-I)=0$ , ya que $A-I\ne0$ , tienes que $A$ no puede ser invertible (si lo fuera, se podría multiplicar por $A^{-1}$ a la izquierda para obtener $A-I=0$ ).