En realidad hay dos preguntas aquí. La segunda (¿por qué son equivalentes estas dos definiciones?) es más fácil de responder, así que la contestaré primero.
El lema afirma que $S(\alpha; W)$ es un ideal en el álgebra polinómica $F[X]$ . Sin embargo, los polinomios forman un dominio ideal principal es decir que podemos decir necesariamente que $$ S(\alpha;W) = \{p(x) f(x): p(x) \in F[X]\} $$ para algún polinomio $f(x)$ que se denomina "generador" del ideal. Cualquier polinomio para el que la descripción anterior sea válida se llama generador. En particular, siempre podemos elegir $f$ sea mónico: para cualquier $k \in F$ tenemos $$ p(x)f(x) = (k \cdot p(x)) \cdot \frac{f(x)}{k}, $$ por lo que si tomamos $k$ para ser el coeficiente principal de $f(x)$ entonces lo anterior nos muestra que $f(x)/k$ es también un generador del mismo ideal, y porque $k$ es el coeficiente principal, $f/k$ será mónico.
Ahora bien, no es exactamente correcto decir que las definiciones de $S(\alpha;W)$ y su único generador mónico (que denotaré como $s(\alpha;W)$ ) son equivalentes. Los autores no dicen que sean equivalentes, sólo que se utiliza el mismo término para ambos, lo que quizá sea un ejemplo desafortunado de terminología sobrecargada en matemáticas. Dicho esto, se puede argumentar que $S(\alpha;W)$ y $s(\alpha;W)$ transmitir "la misma información". En efecto, si se nos da el conjunto $S(\alpha;W)$ entonces $s(\alpha;W)$ es simplemente el polinomio mónico de menor grado en $S(\alpha;W)$ . Si nos dan $s(\alpha;W)$ entonces $S(\alpha;W)$ es simplemente el conjunto de todos los polinomios de la forma $p(x) \cdot s(\alpha;W)$ .
En cuanto a la idea que hay detrás de estas definiciones: son definiciones útiles para la derivación del teorema de descomposición cíclica . La segunda edición de Hoffmann y Kunze ofrece la siguiente explicación de cómo se utilizan estas definiciones.
Supongamos que por un proceso u otro hemos seleccionado $\alpha_1,\dots,\alpha_j$ y el subespacio $$ W_j = Z(\alpha_1;T) + \cdots + Z(\alpha_j;T) $$ es apropiado. Nos gustaría encontrar un vector no nulo $\alpha_{j+1}$ tal que $$ W_j \cap Z(\alpha_{j+1};T) = \{0\} $$ porque el subespacio $W_{j+1} = W_j \oplus Z(\alpha_{j+1};T)$ se acercaría entonces al menos una dimensión más a agotar $V$ . Pero, ¿por qué habría de ser así? $\alpha_{j+1}$ ¿Existe? Si $\alpha_1,\dots,\alpha_j$ se han elegido para que $W_j$ es un $T$ -es bastante fácil ver que podemos encontrar un subespacio adecuado $\alpha_{j+1}$ . Esto es lo que hará que nuestra demostración [del teorema de la descomposición cíclica] funcione, aunque no sea así como formulamos el argumento.
Dejemos que $W$ sea un verdadero $T$ -invariante del subespacio. Intentemos encontrar un vector no nulo $\alpha$ tal que $$ W \cap Z(\alpha;T) = \{0\}. $$ Podemos elegir algún vector $\beta$ que no está en $W$ . Considere la $T$ -conductor $S(\beta;W)$ que consiste en todos los polinomios $g$ tal que $g(T)\beta$ está en $W$ . Recordemos que el polinomio mónico $f = s(\beta;W)$ que genera el ideal $S(\beta;W)$ también se denomina $T$ -conductor de $\beta$ en $W$ . El vector $f(T)\beta$ está en $W$ . Ahora bien, si $W$ es $T$ -admisible, hay una $\gamma$ en $W$ con $f(T)\beta = f(T)\gamma$ . Sea $\alpha = \beta - \gamma$ y que $g$ sea un polinomio cualquiera. Como $\beta - \alpha$ está en $W$ , $g(T)\beta$ estará en $W$ si y sólo si $g(T)\alpha$ está en $W$ En otras palabras, $S(\alpha;W) = S(\beta;W)$ . Así, el polinomio $f$ es también el $T$ -conductor de $\alpha$ en $W$ . Pero $f(T)\alpha = 0$ . Eso nos dice que $g(T)\alpha$ está en $W$ si y sólo si $g(T) \alpha = 0$ es decir, los subespacios $Z(\alpha;T)$ y $W$ son independientes y $f$ es el $T$ -anihilador de $\alpha$ .
Esta es una explicación relativamente formal de la importancia de $S(\alpha;W)$ Así que aquí tenemos una perspectiva "global". Como parte de nuestra demostración del teorema de la descomposición cíclica, necesitamos una forma conveniente de "verificar" si, para un $T$ -subespacio invariable $W$ y un vector arbitrario $\alpha$ los subespacios invariantes $W$ y $Z(\alpha;T)$ son independientes (es decir $W \cap Z(\alpha;T) = \{0\}$ ). Una buena manera de comprobar si esto es así es comparar el $T$ -conductor de $\alpha$ en $W$ con el $T$ -anihilador de $\alpha$ : estos espacios son independientes si y sólo si estos polinomios (o equivalentemente los ideales que generan) son los mismos. Aprovechando esto, podemos empezar con un vector arbitrario $\beta$ y utilizarlo para crear un nuevo vector $\alpha$ y luego demuestre que este $\alpha$ tiene la propiedad requerida.
Para resumir, he aquí una explicación de una sola frase. Juntos, los $T$ -anihilador de $\alpha$ El $T$ -conductor de $\alpha$ en $W$ describe el (grado de) solapamiento entre $W$ y $Z(\alpha;T)$ El $T$ -subespacio invariable generado por $\alpha$ .
