Si $\mathcal H$ es el cierre del conjunto $D$ de funciones suaves sin divergencia en $L^2$ entonces $H_0^1∩\mathcal H$ es el cierre de $D$ en $H_0^1$

Question

Dejemos que

• $d\in\mathbb N$
• $\Omega\subseteq\mathbb R^d$ estar abierto
• $\mathcal D:=C_c^\infty(\Omega,\mathbb R^d)$ y $$\mathfrak D:=\left\{u\in\mathcal D:\nabla\cdot u=0\right\}$$
• $H:=H_0^1(\Omega,\mathbb R^d)$ , $\mathcal H:=\overline{\mathfrak D}^{\left\|\;\cdot\;\right\|_{L^2(\Omega)}}$ y $$\mathcal V:=H\cap\mathcal H$$

¿Cómo podemos demostrar que $\mathcal V=\overline{\mathfrak D}^{\left\|\;\cdot\;\right\|_H}$ ?

Answer 1

Dejemos que $\tilde V$ denotan el cierre de $\mathfrak D$ con respecto a la $H^1$ -normas. Queremos mostrar $\mathcal V = \tilde V$ . Claramente, $\tilde V$ es un subespacio cerrado de $\mathcal V$ .

Ahora dejemos que $f\in \mathcal V$ se dé de tal manera que $f(v)=0$ para todos $v\in \tilde V$ . Esto es válido, en particular, para todos los $v\in \mathfrak D$ . Por lo tanto, se deduce que $f$ es un gradiente, es decir, existe $p\in L^2(\Omega)$ tal que $f=\nabla p$ . Véase, por ejemplo, el libro de Temam sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, capítulo 1, proposiciones 1.1 y 1.2. Esta es la parte más difícil de la prueba.

Desde $f=\nabla p$ se deduce que $f(v)=0$ para todos $v\in \mathcal V$ . Por lo tanto, $f=0$ y $\tilde V$ es denso en $\mathcal V$ . Ambos espacios están cerrados, esto demuestra $\tilde V=\mathcal V$ .