¿Cómo interpretar la ODE de la velocidad de Hubble?

Question

Una pregunta sencilla. La ley de Hubble es

$v = \dfrac{dr}{dt} = H_0r$ .

La afirmación es que, si todas las galaxias se alejan unas de otras, entonces en épocas anteriores estaban más cerca, y en algún momento finito del pasado, convergen (densidad infinita, big bang).

Pero si integramos la ley de Hubble, encontramos

$r(t) \propto e^{H_0t}$ .

Pero aquí, $r\rightarrow 0$ sólo en el caso de que $t\rightarrow -\infty$ . Si establecemos $t = t_0 = H_0^{-1}$ Entonces terminamos con $r(t_0) \propto e$ . Lo que no parece coherente con la teoría del Big Bang de Sandard.

En realidad, se trata de un viejo argumento utilizado en las teorías del estado estacionario, pero se presentó y nunca se resolvió en mi texto de cosmología (Ryden). ¿Cómo podemos conciliar este problema?

Answer 1

El problema viene del hecho de que $H$ no es constante en el tiempo. De hecho, está dominado por diferentes cantidades a lo largo del tiempo cósmico. Así, por ejemplo, en tiempos muy tempranos y después de la inflación

$$ H^2(a) \sim a^{-4} $$

y justo después

$$ H^2(a) \sim a^{-3} $$

y más recientemente

$$ H^2(a) \sim a^0 $$

En todos estos casos $a$ es el factor de escala, y

$$ \frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_{\gamma,0}a^{-4} + \Omega_{m,0}a^{-3} + \Omega_{\Lambda,0} $$

con

$$ H = \frac{\dot{a}}{a} $$

Imaginemos, por ejemplo, que el universo sólo contiene radiación, en este caso

$$ a(t)\sim t^{1/2} $$

lo que significa que hay un punto para el cual la escala del universo va a cero

Answer 2

@caverac tiene razón. Nótese que sus a son el factor de escala de la solución cosmológica, la solución de Friedman Lamaitre Robertson Walker. a es la cantidad que depende del tiempo, es decir, a = a(t), y es esta cantidad la que crece a medida que el universo se expande. D = a(t)r es la distancia propia (digamos entre dos galaxias suficientemente lejanas), y es lo que se mide cosmológicamente como expansión. La velocidad de Hubble es su derivada con el tiempo. r es sólo una coordenada radial, pero tiene un factor de tensor métrico que es a(t).

La linealidad de v (velocidad de recesión) con D (distancia propia) es buena siempre que H no cambie mucho. Eso es cierto para nosotros hasta un desplazamiento al rojo de 1/2-1, y luego se curva para desplazamientos al rojo más altos. Hubble sólo vio la región lineal. El artículo de la wiki al que se hace referencia muestra el gráfico de v frente a D para diferentes casos.

Ver Wikipedia en https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hubble%27s_law para la ley de Hubble y las ecuaciones de la solución FLRW.

Y el único momento en que realmente tienes la solución exponencial que encontraste es cuando el universo está dominado por la energía oscura. Esto se llama un universo deSitter. La energía oscura tiene una constante H, como puedes ver en la ecuación de Caverac cuando las a han crecido lo suficiente como para que el primer y segundo término sean despreciables.

El universo va a ser dominado por la energía oscura, como se puede ver en esa ecuación, como un aumento. En algún número de miles de millones de años, la expansión del universo será principalmente exponencial, siendo el tiempo de Hubble el tiempo de duplicación de e.

Mientras tanto, las ecuaciones de caverac son las que hay que utilizar, siendo la radiación (normal, no oscura) en este momento bastante irrelevante. En diferentes momentos de la historia del universo diferentes factores fueron los principales contribuyentes, y al principio principalmente la radiación, luego la materia maligna, ahora una combinación de alrededor del 25-30% de materia (observada y oscura) y el resto energía oscura