¿El infinito puede acortar mucho las pruebas?

Question

Me acaban de pedir un buen ejemplo de una situación en matemáticas en la que usar el infinito puede acortar mucho un argumento. La persona que quiere el ejemplo lo quiere como parte de una presentación al público en general. Lo mejor que se me ocurrió fueron las secuencias de Goodstein: si se toma un caso particular del teorema de Goodstein, la prueba más corta en aritmética de Peano será absurdamente larga a menos que el caso sea muy, muy pequeño, pero usando ordinales se tiene una prueba muy corta.

Mi pregunta es la siguiente: ¿alguien tiene un ejemplo más realista? No tiene que ser uno en el que se pueda demostrar rigurosamente que el uso del infinito acorta enormemente la prueba más corta. Sólo algo en lo que usar el infinito sea muy conveniente aunque el problema en sí sea finito. (Esto está relacionado con la pregunta formulada antes sobre si las matemáticas finitas necesitan el axioma del infinito, pero no es exactamente lo mismo).

Una metapregunta rápida para añadir: cuando por fin me registré en este sitio, perdí la reputación que tanto me había costado ganar como usuario no registrado. Ahora he caído en desgracia, por así decirlo. ¿Es sólo mi mala suerte?

Answer 1

Un caso sencillo en el que el infinito simplifica las cosas es cuando se demuestra que existen números trascendentales. En lugar de tener que idear formas de distinguir un número trascendental de uno algebraico, simplemente se dice "bueno, hay demasiados números para que todos ellos sean algebraicos, así que ahí lo tienes".

Answer 2

Uno de mis colegas (Silver) dio una charla de propósito general la semana pasada. No se puede desatar un nudo $A$ atando otro nudo $B$ en la cuerda.

Prueba. Primero se demuestra que la suma de conexiones de los nudos largos es abeliana al deslizar $A$ a través de $B$ . A continuación, forme la suma de conexión de tamaño decreciente $(AB)(AB)(AB) \dots$ . Reagrupar: $A(BA)(BA) \dots$ . Si $AB = 0$ es decir, el nudo, entonces la agrupación de la izquierda es el nudo. La agrupación de la derecha es $A$ desde $BA=AB=0$ . Desde $A$ es un nudo, entonces $A=0$ una contradicción. QED

Lo bueno del argumento es que utiliza un trozo de cuerda infinitamente largo, una secuencia infinita de nudos, y los nudos se encogen hasta ser infinitamente pequeños.

Answer 3

Un ejemplo realista: el Aproximación de Stirling al factorial.

Al menos la derivación dada en la página de Wikipedia compara la representación de la suma explícita de $\ln(n!)$ con una aproximación de la suma de Riemann de la integral $\int \ln(x) \mathrm{d}x$ . Sólo se necesitan números enteros finitos para hablar de factoriales. En cambio, se necesitan al menos un par de tipos de infinitos para el análisis real que supone la descripción de la integral y las estimaciones de error que la acompañan. Sin embargo, la simplicidad de esta derivación de la fórmula de Stirling es innegable.

Answer 4

El teorema de Hindman es un ejemplo en el que un infinito (¿ligeramente?) superior simplifica mucho una demostración. El teorema afirma que, si se divide el conjunto de enteros positivos en un número finito de subconjuntos, existe un conjunto infinito $H$ de enteros positivos tal que todas las sumas de un número finito de miembros de $H$ yacen en la misma pieza de su partición. (Si, como yo, consideras que el 0 es una suma finita de este tipo, de 0 términos, entonces exclúyelo explícitamente de la conclusión, para que la afirmación tenga sentido). La prueba original de Hindman funcionaba en el dominio natural del resultado, la aritmética de segundo orden, pero el propio Hindman ha sugerido que esta prueba es como para torturar a los estudiantes. Hay una prueba no tortuosa, debida a Galvin y Glazer, pero una parte esencial de esa prueba implica considerar un semigrupo cuyos puntos son ultrafiltros en los números naturales, así que estamos mucho más allá de la aritmética de segundo orden. De hecho, un lema clave de la demostración depende de la aplicación del lema de Zorn a un determinado conjunto de subsemigrupos de este semigrupo. Así que estamos aún más "arriba" del dominio natural del teorema. (Por cierto, la razón de "ligeramente " en la primera línea de esta respuesta es que, aunque estamos muy por encima de donde les gusta trabajar a la mayoría de los matemáticos, no estamos ni mucho menos cerca de lo que los teóricos de conjuntos llamarían "grandes cardinales").

Answer 5

Consideremos la siguiente pregunta de Erdos y Hajnal:

Pregunta (Erdos-Hajnal) ¿Existe un número finito de $K_4$ -que, cuando las aristas coloreadas por $2$ colores, siempre contiene un triángulo monocolor.

La pregunta la responde Shelah, y su argumento utiliza el infinito. Creo que esta es la única prueba conocida.

La prueba del teorema de Shelah es simplemente la siguiente:

Construye una extensión forzada que añade un gráfico $X$ con la misma propiedad pero con $\aleph_0$ colores. A continuación, $X$ tiene la propiedad de colorear los bordes para $2$ colores, también. Entonces, utilizando el teorema de la compacidad, $X$ debe contener un subgrafo finito $Y$ con la misma propiedad. Como el forzamiento no puede crear nuevos gráficos finitos, $Y$ ya está presente en el modelo de tierra. Por Godel, $ZFC$ demuestra que existe tal gráfico.