Dada: X espacio de Banach separable. X' su dual. Tenemos $M\subset X'$ una bola unitaria cerrada en X'. Elija una secuencia $(x_{n}$ ) de elementos no nulos en X que es denso en X. Definir $d(x',y'):=\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{2^n} \mid{x'(x_n)-y'(y_n))}\mid $
Demostrar que $M\ni x'_m\rightharpoonup^*x'\in M$ si $d(x_m',x')\to 0\:as\: m\to \infty $ .
1.¿Es necesario utilizar el teorema de Banach-Alaoglu?
2.¿Está relacionado de alguna manera con la propiedad de Schur o puede que nos dé algo para la prueba? He leído algo que dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de Schur si la convergencia débil de una secuencia implica la convergencia en norma?
3.O puede ser de Rosenthal $ l_1$ el teorema puede desempeñar un papel. Afirmación : "Toda secuencia acotada en un espacio de Banach contiene una subsecuencia que es débilmente Cauchy o equivalente a la base vectorial unitaria de $l_1$ ."
Se agradece cualquier ayuda.