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cuestión relativa a la convergencia estelar débil.

Dada: X espacio de Banach separable. X' su dual. Tenemos $M\subset X'$ una bola unitaria cerrada en X'. Elija una secuencia $(x_{n}$ ) de elementos no nulos en X que es denso en X. Definir $d(x',y'):=\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{2^n} \mid{x'(x_n)-y'(y_n))}\mid $

Demostrar que $M\ni x'_m\rightharpoonup^*x'\in M$ si $d(x_m',x')\to 0\:as\: m\to \infty $ .

1.¿Es necesario utilizar el teorema de Banach-Alaoglu?

2.¿Está relacionado de alguna manera con la propiedad de Schur o puede que nos dé algo para la prueba? He leído algo que dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de Schur si la convergencia débil de una secuencia implica la convergencia en norma?

3.O puede ser de Rosenthal $ l_1$ el teorema puede desempeñar un papel. Afirmación : "Toda secuencia acotada en un espacio de Banach contiene una subsecuencia que es débilmente Cauchy o equivalente a la base vectorial unitaria de $l_1$ ."

Se agradece cualquier ayuda.

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Normal Human Puntos 45168

Que quede claro que los puntos 2 y 3 no tienen nada que ver con el simple (aunque importante) hecho expuesto en el primer párrafo. Hay que demostrar que cuando $X$ es separable, la topología débil* de $X^*$ es metrizable en subconjuntos acotados.

Aparte Este hecho aparece en el contexto de Banach-Alaoglu, permitiendo una buena demostración sin el teorema de Tychonov (ver Banach-Alaoglu secuencial ). Pero no hace falta ningún gran teorema para establecer el hecho en sí.

La prueba consta de dos partes.

Parte 1 : $d(x_m',x')\to 0$ si y sólo si $x_m'(x_n)-x'(x_n)\to 0$ por cada $n$ .

La dirección $\Rightarrow$ es sencillo. Para la dirección $\Leftarrow$ dividir la serie definiendo $d$ en "cabeza" y "cola": la cabeza es pequeña por suposición, la cola es pequeña por $1/2^n$ .

Parte 2 $x_m'\to x'$ en topología débil* si y sólo si $x_m'(x_n)-x'(x_n)\to 0$ por cada $n$ .

Otra vez, $\Rightarrow$ es sencillo. A la inversa, fijar $x\in X$ . Puede encontrar $x_n$ cerca de $x$ . Utiliza la desigualdad del triángulo así: $$\begin{split} |x_m'(x_n)-x'(x)| &\le |x_m'(x_n)-x'(x_n)| + |x_m'(x_n)-x_m'(x)| + |x'(x_n)-x'(x)| \\ &\le |x_m'(x_n)-x'(x_n)|+2\|x-x_n\| \end{split}$$

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