Hallar el FGM de la suma de cuadrados de variables aleatorias normales independientes, con media distinta de cero?

Question

Tengo una pregunta en la que me dan $n$ variables aleatorias independientes $(X_i)_{i=1}^n$ siguiendo una distribución normal con media no nula $\mathbb{E}(X_i)$ y la varianza común constante.
A continuación, pide que se calcule el FGM de la suma de los cuadrados de cada uno de estos $X_i$ . ¿Cómo puedo hacerlo? Sé que la cuadratura $N(0,1)$ da chi-cuadrado con df=1, así que puedo asumir el MGF de esto, pero esto no parece ayudar en este momento.

Answer 1

(Esto parece un autoaprendizaje, por lo que proporciono la siguiente pista)

Dejemos que $E(X_i) = a_i$ y $Y_i = X_i^2 = (a_i + Z_i)^2$ donde $Z_i \sim N(0,1)$ . Entonces $$Y_i = a_i^2 + Z_i^2 + 2a_iZ_i\,.$$

Entonces,

$$\sum Y_i = \sum a_i^2 + \sum Z_i^2 + \sum a_iZ_i $$

Usted sabe que $\sum_{i=1}^{n} Z_i^2 \sim \chi^2_n$ y que $Z_i \sim N(0,1)$ . A continuación, puede utilizar las propiedades básicas del MGF para obtener el MGF de $\sum Y_i$ .