(Confusión en la evaluación de la integral) Derivación de Adam-Bashforth de tres pasos

Question

Por favor, compruebe primero este sitio (opcional, no ayuda realmente):

Adam-Bashforth-Moulton

Lo que me confunde es en la parte del ejercicio para encontrar el Adam-Bashforth :

Así que la integral de cada parte de $P(t)$ es :

$$\dfrac{f(t_n, y_n)}{2h^2}\int_{t_n}^{t_{n+1}}(t-t_{n-1})(t-t_{n-2})\,\Bbb dt=\dfrac{23}{12}hf(t_n,y_n)$$

¿Dónde está el $\dfrac{23}{12}$ ¿de dónde viene?

La variable es un poco rara. Esa integración se integra con la variable $t$ . Pero hay otras variables como $t_n, t_{n-1}$ son las variables de esta integración consideradas como Una constante ?

¿Qué debo hacer? Expandir el término, y luego integrarlo con $t$ ? Pero ¿qué pasa con otro $t_k$ ????

Por favor, ayúdenme y gracias de antemano.

Answer 1

Sí, la secuencia temporal $t_k=t_0+kh$ se considera constante. Entonces $$ \int_{t_n}^{t_{n+1}}(t-t_{n-1})(t-t_{n-2})dt = \int_0^h(s+h)(s+2h)ds =\left[\frac{s^3}3+\frac{3hs^2}2+2h^2s\right]_0^h\\ =\frac{h^3}6(2+9+12)=2h^2\cdot\frac{23h}{12} $$