¿Importa el orden al escribir una matriz de conversión?

Question

Tengo dos vectores propios \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} y \begin{pmatrix} 0 \\2 \end{pmatrix} . Entonces, la base propia será \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} ?

Answer 1

El orden de los vectores propios no importa en sí mismo. Sin embargo, puede haber otras restricciones en juego. Por ejemplo, es habitual que los valores propios de la matriz diagonal estén dispuestos en orden descendente o ascendente. En ese caso, los vectores propios deben estar ordenados de forma que coincidan.

Answer 2

Supongamos que $A$ es la matriz original cuyos vectores propios has calculado. Supongamos que $\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ es un vector propio correspondiente al valor propio $\lambda_1$ , mientras que $\xi_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $ se corresponde con el valor propio $\lambda_2$ . Defina las siguientes matrices: \begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \N - texto y |cuadro Q= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} . \fin{s} de la ecuación

La diferencia entre $P$ y $Q$ es el efecto que tienen en las representaciones diagonales de $A$ : \begin{equation} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \N - texto \N - dondequiera que se encuentre \quad Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} \lambda_2 & 0 \\ 0 & \lambda_1 \end{pmatrix} . \fin{s} de la ecuación

Así que la respuesta a tu pregunta es: depende de lo que entiendas por "materia". Si te refieres a "tiene importancia", entonces la respuesta es sí, porque como he mencionado anteriormente, los valores propios se intercambiarán en la representación diagonal de $A$ . Pero, si te refieres a "¿hay alguna razón inherente para elegir uno sobre el otro?", la respuesta es no; sólo tienes que ser consciente de dónde van los valores propios.

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Observación añadida:

Sólo un comentario sobre tu terminología: has dicho "la base eigen será...", pero luego procedes a enumerar las matrices $P$ y $Q$ He definido. Espero que sepas que $P$ , $Q$ se denominan "cambio de base/matriz de coordenadas", mientras que la base propia es la base de los vectores propios: $\{\xi_1, \xi_2\}$ .

Si quieres ser más específico, podrías hablar de la "base propia ordenada" $\{\xi_1, \xi_2\}$ y $\{\xi_2, \xi_1\}$ , para enfatizar que quiere seguir el orden.

Sólo lo he sacado a colación para que lo sepas, si por casualidad eres un poco impreciso y conoces la distinción, por supuesto ignora este comentario.